RN 导数的链式法则

命题：RN 导数的换元公式与链式法则

命题
依赖深度 layer 21
分析学
符号测度与分解

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又称链式法则·RN 链式法则

陈述

设 $\nu$ 是 $\sigma$ 有限符号测度、 $\mu$ 与 $\lambda$ 是 $\sigma$ 有限测度，且

\nu \ll \mu, \quad \mu \ll \lambda

(a) 若 $g \in L^1(\nu)$ ，则 $g \frac{d\nu}{d\mu} \in L^1(\mu)$ ，且

\int g d\nu = \int g \frac{d\nu}{d\mu} d\mu

(b) 此时 $\nu \ll \lambda$ ，且链式法则成立：

\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda}\quad (\lambda-\text{a.e.})

说明

(a) 就是「换元公式」：把对 $\nu$ 的积分换成对 $\mu$ 的积分，代价是乘上 RN 导数。它对指示函数成立、于是对简单函数成立、再用单调收敛到 $L^{+}$ 、最后到 $L^{1}(\nu )$ 。

(b) 的证明用 (a)：对任意可测 $E$ ，

\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda} d\lambda

两边对照 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\lambda} d\lambda$ 即得（「用积分识别函数」那条命题正是用来做这一步的）。

谁指向它（入边）

推出 1

积分给出绝对连续测度、何时两个函数积分处处相同 ⟹ 本页推出

换元公式与链式法则

设 $\nu \ll \mu \ll \lambda$ 。
(a) 换元公式 $\int g d\nu = \int g \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ 。 分四步爬：
$\cdot$ $g = \chi_E$ ：左边是 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ （这正是 RN 定理的内容），右边同； $\cdot g$ 是简单函数：由线性； $\cdot$ $g \in L^+$ ：取简单函数列 $g_n \uparrow g$ ，两边各用一次 MCT； $\cdot$ $g \in L^1(\nu)$ ：拆正负部。
(b) 链式法则。 对任意可测 $E$ ，用 (a) 两次：
$\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda} d\lambda$
另一方面又有 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\lambda} d\lambda$ （因为 $\nu \ll \lambda$ ）。两式对一切 $E$ 相等，由「用积分识别函数」，两个密度 $\lambda -\text{a.e.}$ 相等：
$\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda}\quad \lambda-\text{a.e.}$
∎

参考

Folland, Real Analysis, Theorem 3.9

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