Lebesgue–Radon–Nikodym 定理Radon-Nikodym theorem

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ (L^p)* ≅ L^q推出
  把泛函变成测度 $\implies$ $(L^p)^* \cong L^q$

  设 $1 < p < \infty$、$\Phi \in (L^p)^*$。

  Step 1：先设 $\mu$ 有限。 此时所有简单函数都在 $L^p$ 里。定义

  $$\nu(E) := \Phi(\chi_E) \qquad (E \in \mathcal{M})$$

  ① $\nu$ 是复测度。 设 $E = \bigsqcup_j E_j$，则 $\chi_E = \sum_{j} \chi_{E_j}$。而

  $$\left\| \chi_E - \sum_{j \le n} \chi_{E_j} \right\|_p = \left\| \sum_{j > n} \chi_{E_j} \right\|_p = \mu\left( \bigsqcup_{j>n} E_j \right)^{1/p} \to 0$$

  由 $\Phi$ 的连续性，$\nu(E) = \sum_j \nu(E_j)$ —— 正是复测度的定义。

  ② $\nu \ll \mu$。 若 $\mu(E) = 0$，则 $\chi_E = 0$ 于 $L^p$，故 $\nu(E) = 0$。

  ③ 用 Radon–Nikodym。 存在 $g \in L^1(\mu)$ 使 $\nu(E) = \int_E g \, d\mu$，即

  $$\Phi(\chi_E) = \int \chi_E g \, d\mu$$

  对一切简单函数 $f$ 就有 $\Phi(f) = \int fg \, d\mu$（线性）。

  ④ 把 $g$ 提升到 $L^q$。 由 $\left| \int fg \right| = |\Phi(f)| \le \|\Phi\| \, \|f\|_p$，有界泛函那条命题给出 $g \in L^q$ 且 $\|g\|_q \le \|\Phi\|$。再由稠密性（简单函数在 $L^p$ 稠密、$\Phi$ 连续）得 $\Phi(f) = \int fg$ 对一切 $f \in L^p$ 成立。

  Step 2：$\mu$ $\sigma$有限。 取 $\{E_n\} \uparrow$、$0 < \mu(E_n) < \infty$、$X = \bigcup_n E_n$，并把 $L^p(E_n)$ 等同于「在 $E_n$ 外为零的 $L^p(X)$ 函数」。对每个 $n$ 用 Step 1 得 $g_n \in L^q(E_n)$，且

  $$\|g_n\|_q \le \left\| \Phi|_{L^p(E_n)} \right\| \le \|\Phi\|$$

  唯一性（a.e.）给出 $g_n = g_m$ a.e. 于 $E_n$（$n < m$），所以它们拼成一个 a.e. 良定义的 $g$。由 MCT，$\|g\|_q = \lim_n \|g_n\|_q \le \|\Phi\|$，故 $g \in L^q$；而对 $f \in L^p$，由 DCT $f\chi_{E_n} \to f$ 于 $L^p$，于是 $\Phi(f) = \lim_n \Phi(f\chi_{E_n}) = \lim_n \int_{E_n} fg = \int fg$。

  Step 3：$\mu$ 任意（此时 $p > 1$，故 $q < \infty$）。 对每个 $\sigma$有限集 $E \subseteq X$，Step 2 给出 a.e. 唯一的 $g_E \in L^q(E)$ 使 $\Phi(f) = \int f g_E$ 对一切 $f \in L^p(E)$ 成立，且 $\|g_E\|_q \le \|\Phi\|$。若 $F \supseteq E$ 也 $\sigma$有限，则 $g_F = g_E$ a.e. 于 $E$，因而 $\|g_F\|_q \ge \|g_E\|_q$。令

  $$M := \sup \{\, \|g_E\|_q : E \text{ 是 }\sigma\text{-有限集} \,\} \le \|\Phi\|$$

  取 $\{E_n\}$ 使 $\|g_{E_n}\|_q \to M$，令 $F = \bigcup_n E_n$（仍 $\sigma$有限）。则 $\|g_F\|_q \ge \|g_{E_n}\|_q$ 对一切 $n$ 成立，故 $\|g_F\|_q = M$。

  $g_F$ 已经是我们要的那个 $g$：设 $A \supseteq F$ $\sigma$有限，则

  $$\int |g_F|^q + \int |g_{A \setminus F}|^q = \int |g_A|^q \le M^q = \int |g_F|^q$$

  故 $g_{A \setminus F} = 0$，即 $g_A = g_F$ a.e.。而对 $f \in L^p$，集合 $A := F \cup \{f \ne 0\}$ 是 $\sigma$有限的，于是 $\Phi(f) = \int f g_A = \int f g_F$。取 $g = g_F$ 即可。∎

  ⭐ Step 1 的核心思想：把 $L^p$ 上的泛函限制在「特征函数」上，就得到一个测度，再用 Radon–Nikodym 把测度变成函数。

谁指向它（入边）

推出 1

• 要么奇异、要么有下界、单调收敛定理、绝对连续与变差 ⟹ 本页推出
  「要么奇异、要么有下界」$\implies$ Lebesgue–Radon–Nikodym

  I. 先设 $\nu$、$\mu$ 都有限，且 $\nu \ge 0$。

  ① 造候选函数集。 令

  $$\mathcal{F} := \{ f : X \to [0, +\infty] : \int_E f d\mu \le \nu(E)\quad \forall E \in \mathcal{M} \}$$

  则 $0 \in \mathcal{F}$，且 $\mathcal{F}$ 对取大封闭：若 $f, g \in \mathcal{F}$，令 $A = \{f > g\}$、$h = \max_{f, g}$，则对任意 $E$，

  $$\int_E h d\mu = \int_{E\cap A} f d\mu + \int_{E\setminus A} g d\mu \le \nu(E\cap A) + \nu(E\setminus A) = \nu(E)$$

  故 $h \in \mathcal{F}$。

  ② 取上确界。 令 $a := \sup\{ \int f d\mu : f \in \mathcal{F} \} \le \nu(X) < \infty$（这一步用到 $\nu$ 有限）。取 $\{f_n\} \subseteq \mathcal{F}$ 使 $\int f_n d\mu \to a$，令

  $$g_n = \max_{f_1, \ldots , f_n}, \quad f = \sup_n f_n$$

  由 ① 每个 $g_n \in \mathcal{F}$，且 $g_n \uparrow f$、$\int g_n d\mu \ge \int f_n d\mu$，故 $\lim_n \int g_n d\mu = a$。由 MCT，$f \in \mathcal{F}$ 且 $\int f d\mu = a$。

  ③ 断言 $d\lambda := d\nu - f d\mu$ 与 $\mu$ 奇异。 反设不然，由引理，存在 $\varepsilon > 0$ 与 $E \in \mathcal{M}$、$\mu (E) > 0$，使 $\lambda \ge \varepsilon\mu$ 在 $E$ 上成立，即

  $$\varepsilon \chi_E d\mu \le d\nu - f d\mu\quad \implies\quad (f + \varepsilon \chi_E) d\mu \le d\nu$$

  于是 $f + \varepsilon \chi_E \in \mathcal{F}$，但

  $$\int (f + \varepsilon \chi_E) d\mu = a + \varepsilon\cdot\mu(E) > a$$

  与 $a$ 的上确界性矛盾。故 $\lambda \perp \mu$，$\nu = \lambda + (f d\mu)$ 就是所要的分解。

  ④ 唯一性。 设 $d\nu = d\lambda' + f' d\mu$ 是另一种分解。则

  $$d\lambda - d\lambda' = (f' - f) d\mu$$

  左边与 $\mu$ 奇异（两个各与 $\mu$ 奇异的测度之差仍与 $\mu$ 奇异），右边关于 $\mu$ 绝对连续。由「既奇异又绝对连续 $\implies$ 等于零」，两边都是 0，即 $\lambda = \lambda'$ 且 $f = f'$ $\mu -\text{a.e.}$。

  II. 推广到 $\sigma$有限。 取 $X = \bigcup_j A_j$（$\mu(A_j) < \infty$、$\nu(A_j) < \infty$）。令

  $$\mu_j(E) := \mu(E \cap A_j), \quad \nu_j(E) := \nu(E \cap A_j)$$

  对每一对 $(\mu_j, \nu_j)$ 用 $I$，得 $d\nu_j = d\lambda_j + f_j d\mu_j$。规定 $\lambda_j(A_j^c) = 0$、$f_j = 0$ 在 $A_j^c$ 上，令

  $$\lambda := \sum_j \lambda_j, \quad f := \sum_j f_j$$

  则 $d\nu = d\lambda + f d\mu$、$\lambda \perp \mu$，且 $d\lambda$、$f d\mu$ 都 $\sigma$有限。

  $III. \nu$ 是符号测度。 把 $I$、II 分别用在 $\nu^+$ 与 $\nu^-$ 上（由「绝对连续与变差」，绝对连续性对变差是逐块的），再把结果相加。∎

  ⭐ ③ 那一步是全证明的枢纽：假如 $\lambda$ 还「留了一点 $\mu$质量」，就能拿它把 $f$ 往上顶一点、得出比上确界 $a$ 更大的值 —— 于是 $\lambda$ 只能全部跑到 $\mu$ 看不到的地方去，即 $\lambda \perp \mu$。

定义引用 2

• 绝对连续 → 本页定义引用

  $L$–$R$–$N$ 里那个 $\rho \ll \mu$ 就是绝对连续。

• 相互奇异 → 本页定义引用

  同时用到「与 $\mu$ 奇异」那一半。