积分的绝对连续性

推论： $\int_E f d\mu$ 在小测度集上任意小

推论
依赖深度 layer 21
分析学
符号测度与分解

cor.ac-integral-continuity · 推论 · 绝对连续 · L¹

又称积分的绝对连续性

陈述

设 $f \in L^1(\mu)$ 。则

\forall\varepsilon > 0, \exists\delta > 0 : \mu(E) < \delta \implies | \int_E f d\mu | < \varepsilon

说明

把「积分给出绝对连续测度」与上一条 $\varepsilon$ – $\delta$ 刻画拼起来即可（注意 $f \in L^{1} \implies \nu (E) = \int _E f d\mu$ 是有限符号测度，符合前提）。

谁指向它（入边）

推出 1

积分给出绝对连续测度 ⟹ 本页推出

积分给出绝对连续测度 $\implies$ 积分的绝对连续性

把「积分给出绝对连续测度」与绝对连续的 $\varepsilon$ – $\delta$ 刻画拼起来即可： $\mu(E) < \delta \implies \nu(E) = \int_E f \, d\mu < \varepsilon$ 。∎

定义引用 2

可积 / L¹ → 本页定义引用

前提 $f \in L^1(\mu)$ ；积分 $\int_E f$ 要可积才有意义。
绝对连续 → 本页定义引用

这条就是「积分关于测度绝对连续」的 $\varepsilon$ – $\delta$ 形式。

参考

Folland, Real Analysis, Prop. 3.5

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