复测度

复测度（Complex Measure）

定义
依赖深度 layer 16
分析学
符号测度与分解

def.complex-measure · 定义 · 复测度

又称复测度·complex measure

陈述

可测空间 $(X, \mathcal{M})$ 上的复测度是一个映射

\nu : \mathcal{M} \to \mathbb{C}

满足

\nu(\emptyset) = 0,

且对两两不交的 $\{E_j\} \subseteq \mathcal{M}$ ：

\nu( \bigsqcup_j E_j ) = \sum_j \nu(E_j),\text{ 右边的级数绝对收敛}

说明

⚠ 与符号测度相比，复测度自动有限（取值在 $\mathbb{C}$ 里，不涉及 $\pm \infty$ ），而且可数可加性里的那个级数自动绝对收敛。

所以在复测度的世界里，「有限性」「重排问题」这些麻烦全部消失 —— 代价是不能再有「无穷质量」的例子。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

A complex measure on a measurable space $(X, \mathcal{M})$ is a map $\nu : \mathcal{M} \to \mathbb{C}$ with $\nu(\emptyset) = 0$ and $\nu(\bigsqcup_j E_j) = \sum_j \nu(E_j)$ for pairwise disjoint families, the series converging absolutely. Unlike signed measures, complex measures are automatically finite and that series is automatically absolutely convergent, so questions of finiteness and rearrangement never arise — at the cost of losing examples with infinite mass.

它指向谁（出边）

定义引用 3

复测度的 Radon–Nikodym 用到本页定义引用

这条定理就是复测度版本的 $L$ – $R$ – $N$ 。
全变差的基本性质用到本页定义引用

同一条命题对复测度也适用（全变差对两者定义一致）。
正则 Borel 测度用到本页定义引用

同一条对复测度再说一遍。

谁指向它（入边）

定义引用 4

复数 ℂ → 本页定义引用

复测度取值在 $\mathbb{C}$ 里 —— 所以它自动有限。
σ-代数 → 本页定义引用

复测度同样定义在可测空间 $(X, \mathcal{M})$ 上。
测度 → 本页定义引用

复测度是照着测度改写取值的： $\nu : \mathcal{M} \to \mathbb{C}$ 。
符号测度 → 本页定义引用

注里逐条与符号测度对照：复测度自动有限、级数自动绝对收敛。

参考

Folland, Real Analysis, §3.3

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