σ-代数

σ-代数（σ-Algebra）

定义
依赖深度 layer 4
分析学
集合族与 σ-代数

def.sigma-algebra · 定义 · σ-代数 · 可测空间 · 测度论

又称σ-代数·sigma-algebra·sigma-field·σ域·可测空间

陈述

设 $X$ 是集合， $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 。 $\mathfrak{A}$ 是 $X$ 上的一个 $\sigma$ 代数，当且仅当它同时满足三条：

含全集： $X \in \mathfrak{A}$
对补封闭： $A \in \mathfrak{A} \implies A^c := X \setminus A \in \mathfrak{A}$
对可数并封闭： $A_1, A_2, \ldots \in \mathfrak{A} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{A}$

二元组 $(X, \mathfrak{A})$ 称为可测空间（measurable space）， $\mathfrak{A}$ 的元素称为可测集（measurable set）。

说明

三条是配套的，缺一不可：只留 (2)(3) 就是 $\sigma$ 环；把 (3) 降成「有限并」就是代数。

由 (2)(3) 用 De Morgan 立得对可数交封闭： $\Big( \bigcap_n A_n \Big)^c = \bigcup_n A_n^c \in \mathfrak{A}$ 。于是有限并、有限交、差、对称差全都可用 —— 真正超出「代数」的，只有可数这一件事。

⚠ 方向不能反： $\sigma$ 代数一定是代数，代数不一定是 $\sigma$ 代数。反例： $X = \mathbb{R}$ 上「有限集与余有限集」全体是代数，而 $\mathbb{N} = \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \cdots$ 是其中可数多个元素的并、本身既非有限也非余有限，所以那个代数不封闭于可数并。

记号里的「 $\sigma$ 」表示可数（取自德文 Summe / 法文 somme 的首字母），和标准差那个 $\sigma$ 无关。

为什么非要有它：测度的可数可加性 $\mu (\bigcup A_{n}) = \sum \mu (A_{n})$ 需要一个对可数运算封闭的定义域，否则等式两边根本不在同一个集合族里。整条测度构造就是从这里起步的。

它指向谁（出边）

定义引用 9

环 → σ-环的判据用到本页定义引用

这条判据的结论是「 $\mathfrak{A}$ 是 $\sigma$ 环」；若 $\mathfrak{A}$ 还含 $X$ ，就一并是 $\sigma$ 代数。
单调类定理用到本页定义引用

单调类定理的两端，一个是由 $\mathcal{E}$ 生成的 $\sigma$ 代数 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 、一个是单调类 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$ 。
生成的 σ-代数用到本页定义引用

「生成的 $\sigma$ 代数」＝一切包含 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$ 代数之交。
Borel σ-代数用到本页定义引用

$Borel \sigma$ 代数就是「由开集这个生成元生成的 $\sigma$ 代数」。
积 σ-代数用到本页定义引用

积 $\sigma$ 代数也只是 $\sigma$ 代数，生成元换成「矩形」而已。
测度用到本页定义引用

测度是定义在 $\sigma$ 代数 $\mathcal{M}$ 上的函数 $\mu : \mathcal{M} \to [0, +\infty]$ 。
可测函数用到本页定义引用

可测空间 $(X, \mathcal{M})$ 就是「集合 $+$ $\sigma$ 代数」；可测性说的是原像落在 $\mathcal{M}$ 里。
符号测度用到本页定义引用

符号测度定义在可测空间 $(X, \mathcal{M})$ 上。
复测度用到本页定义引用

复测度同样定义在可测空间 $(X, \mathcal{M})$ 上。

谁指向它（入边）

定义引用 1

σ-环 → 本页定义引用

$\sigma$ 代数 $= \sigma$ 环 $X \in \mathfrak{A}$ ，只多这一条。

参考

Halmos, Measure Theory, §4
Folland, Real Analysis, §1.2
Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 1

常见问法 1 条

σ-代数是怎么生成的也看生成的 σ-代数、Borel σ-代数

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