积 σ-代数product sigma-algebra

积 σ-代数（Product σ-Algebra）

定义
依赖深度 layer 6
分析学
拓扑学
乘积测度与 Fubini

def.product-sigma · 定义 · 积 · 柱集

又称积 σ-代数·product sigma-algebra·乘积 σ代数

陈述

设 $\{ (X_\alpha , \mathcal{M}_\alpha ) \}_\{\alpha \in A\}$ 是一族可测空间， $X = \prod_{\alpha \in A} X_\alpha$ ，投影 $\pi _\alpha : X \to X_\alpha$ 。积 $\sigma$ 代数定义为

\otimes _{\alpha \in A} \mathcal{M}_\alpha := \mathcal{M}(\{ \pi _\alpha^{-1}(E_\alpha) : E_\alpha \in \mathcal{M}_\alpha, \alpha \in A \})

说明

即由全体柱集生成的 $\sigma$ 代数。柱集 $\pi _\alpha ^{-1}(E_\alpha )$ 就是「只对第 $\alpha$ 个坐标提要求」的集合。

⚠ 一般不能定义成「 $\prod E_\alpha$ 的全体生成的 $\sigma$ 代数」—— 那只在可数指标集时等价（见下一条）。

这样定义的原因：投影 $\pi _\alpha$ 应当是可测的，而 $\sigma$ 代数要对逆像封闭 —— 取最小的那一个就够了。

它指向谁（出边）

定义引用 6

可数积的生成集用到本页定义引用

这条命题比较「柱集生成」与「矩形生成」。
积 σ-代数的生成基用到本页定义引用

这条命题说的就是把每一维的 $\mathcal{M}_\alpha$ 换成生成元后，积 $\sigma$ 代数不变。
可数积的 Borel 代数用到本页定义引用

推论里左边是积 $\sigma$ 代数。
积空间与实虚部用到本页定义引用

这条命题的舞台是积 $\sigma$ 代数。
乘积测度用到本页定义引用

乘积测度定义在积 $\sigma$ 代数 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 上。
截口可测用到本页定义引用

前提 $E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 里的 $\otimes$ 就是积 $\sigma$ -代数。

谁指向它（入边）

定义引用 3

生成的 σ-代数 → 本页定义引用

积 $\sigma$ 代数也是「生成」出来的。
σ-代数 → 本页定义引用

积 $\sigma$ 代数也只是 $\sigma$ 代数，生成元换成「矩形」而已。
映射 → 本页定义引用

投影 $\pi_\alpha$ 是函数，柱集 $\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha)$ 用的是逆像。

参考

Folland, Real Analysis, §2.1

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