Fubini–Tonelli

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 完备情形的 F–T推出
  乘积测度通常不完备 $\implies$ 必须补一条完备情形的 F–T

  ① 先证 $f \ge 0$ 的情形。 由于 $\lambda$ 是 $\mu \times \nu$ 的完备化，$\mathcal{L}$ 中的集合可以写成

  $$E = F \cup G, \quad F \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}, \quad G \subseteq H, \quad \mu \times \nu(H) = 0$$

  （取不交化后即 $E = F \sqcup G$，于是 $\chi_E = \chi_F + \chi_G$。）

  ② $\chi_F$ 那一半没问题 —— 直接归 Fubini–Tonelli（$F \in \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$）。

  ③ $\chi_G$ 那一半也没问题 —— 因为 $G \subseteq H$ 而 $\mu \times \nu (H) = 0$，所以对每一个 $x$ 都有 $\nu(G_x) \le \nu(H_x) = 0$（$H$ 的截口是 $\nu$零集，这一步用截口公式对 $H$ 本身成立），于是

  $$\int \chi_G d\lambda = 0 = \int ( \int \chi_G d\nu ) d\mu$$

  两边都是 0。（对 a.e. 的 $x$，$G_x$ 是 $\nu$零集。）

  ④ 由线性推广到非负简单函数，再用 MCT 推广到一切 $f \ge 0$。 关键点：完备化只多出「含在零集里的部分」，而这部分对积分的贡献恒为 0，所以整段论证不会被破坏。

  ⑤ 一般情形：把 $f$ 拆成 $\operatorname{Re} f^\pm , \operatorname{Im} f^\pm$ 四个非负部分，逐块用 ④ —— 但此时所有断言都退化成「对 a.e. 的 x / y」，因为零集上的截口行为不再逐一可控。∎

  $>$ 要点：核心就是把 $E$ 拆成 $F \sqcup G$ —— $F$ 归老定理、$G$ 归「截口都是零集」。

谁指向它（入边）

推出 1

• 乘积测度由截口给出、单调收敛定理 ⟹ 本页推出
  集合版（截口公式）+ MCT $\implies$ Tonelli

  ① 指示函数。 取 $f = \chi_E$（$E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$）。此时

  $$\int_Y f(x, y) d\nu(y) = \nu(E_x), \quad \int_X f(x, y) d\mu(x) = \mu(E^y)$$

  于是三重等式正是上一条定理的内容。

  ② 简单函数。 由线性推广到 $f = \sum_j a_j \chi_{E_j}$（$a_j \ge 0$，$E_{j}$ 不交）。

  ③ 非负可测函数。 取简单函数列 $\{f_n\} \nearrow f$（简单函数逼近定理）。令

  $$g_n(x) = \int f_n(x, y) d\nu(y), \quad g(x) = \int f(x, y) d\nu(y)$$

  由 $f_n \uparrow f$ 与积分的单调性，$\{g_n\}$ 递增；由 MCT，$g = \lim_n g_n$ 且

  $$\int g d\mu = \lim_n \int g_n d\mu$$

  再由 ② 对每个 $n$ 的三重等式，

  $$\int g_n d\mu = \int f_n d(\mu \times \nu)$$

  于是

  $$\int_X ( \int_Y f d\nu ) d\mu = \lim_n \int f_n d(\mu \times \nu) = \int f d(\mu \times \nu)$$

  （最后一步又用一次 MCT。）另一边对称。这就是 Tonelli，全程不需要可积性。

  ④ Fubini。 设 $f \in L^1(\mu \times \nu)$。把 $f$ 拆成 $\operatorname{Re} f^+, \operatorname{Re} f^-, \operatorname{Im} f^+, \operatorname{Im} f^-$ 四个非负部分，对每一部分用 ③。由

  $$\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty$$

  和 ③ 的三重等式，得到 $\int_X (\int_Y |f| d\nu) d\mu < \infty$，故 $\int_Y |f(x, \cdot)| d\nu < \infty$ 对 a.e. $x$ 成立 —— 即 $f_x \in L^1(\nu)$ a.e.；同理 $f^y \in L^1(\mu)$ a.e.。既然两个累次积分都已经是有限数，就可以直接相减、不再有 $\infty - \infty$ 的危险，三重等式对 $f$ 成立。∎

  $>$ ⭐ 分工很干净：Tonelli 负责非负（无条件），Fubini 用「可积」把四个非负部分的结论拼起来。

定义引用 3

• 截口 → 本页定义引用

  Fubini 的整个陈述都是用截口写的。

• 乘积测度 → 本页定义引用

  重积分就是对 $\mu \times \nu$ 积分。

• 可积 / L¹ → 本页定义引用

  Fubini 的 (b) 用的是 $L^{1}(\mu \times \nu )$。