Fatou 引理

设 $f_n \to f$ a.e.，$|f_n| \le g \in L^1$。

① $f \in L^{1}$。 由 $|f| = \lim|f_n| \le g$（a.e.）得 $f$ 可积。

② 上界方向：$\limsup_n \int f_n \le \int f$。 考虑 $g - f_n \ge 0$（因为 $|f_{n}| \le g$）。这列非负函数满足

对它用 Fatou 引理：

（最后一步是因为 $\liminf_{-a_n} = -\limsup a_n$。）移项即得 $\limsup_n \int f_n \le \int f$。

③ 下界方向：$\liminf_n \int f_n \ge \int f$。 同样对 $g + f_n \ge 0$ 用 Fatou：

移项得 $\liminf_n \int f_n \ge \int f$。

④ ②与③合起来 $\limsup \le \int f \le \liminf$，故极限存在且等于 $\int f$。∎

$>$ ⭐ 关键在于控制函数提供的非负性：$g \pm f_n$ 都是非负的，于是 Fatou 可以直接用。没有 $g$，这一步就写不出来。 $>$ 移项之所以合法，是因为 $g$ 可积（$\int g < \infty$）—— 这正是「控制函数必须属于 $L^{1}$」而不能只是「有界」的原因。

把 Fatou 引理用在 $\liminf f_n$ 上：a.e. 收敛时 $\liminf_n f_n = f$，于是 $\int f = \int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$。∎

设 $g_n = \inf_{k \ge n} f_k$，则

$\cdot$ $g_n \le f_k$ 对一切 $k \ge n$ 成立，故 $\int g_n \le \inf_{k\ge n} \int f_k$； $\cdot$ $\{g_n\}$ 是 $L^{+}$ 中的递增列（下确界取的集合越来越少），且 $\lim_n g_n = \liminf_k f_k$。

对递增列 $\{g_n\}$ 用 MCT：

∎

$>$ 整个证明就是把「liminf 定义成递增列的上确界」这件事翻译一遍 —— MCT 之外什么都没用。