MCT（a.e. 版本）

说明

证明。 设例外集 $N$（$\mu(N) = 0$）使 $f_{n}(x) \uparrow f(x)$ 对一切 $x \in N^{c}$ 成立。令 $g_{n} := f_{n}\,\chi_{N^{c}}$、$g := f\,\chi_{N^{c}}$。

• $g_{n} \uparrow g$ 处处成立（在 $N$ 上两边都是 $0$）✓；
• 被改动的只是零集 $N$ 上的值，而由「积分为零 $\iff$ 几乎处处为零」，在零集上改值不影响积分：$\int g_{n} = \int f_{n}$、$\int g = \int f$ ✓；
• 对处处收敛的情形用单调收敛定理：$\int g = \lim_{n} \int g_{n}$ ✓。

两式合起来就是 $\int f = \lim_{n}\int f_{n}$。∎

把例外集 $N$（$\mu (N) = 0$）上的值全部改掉不影响任何一边的积分：左边用「积分为零 $\iff$ 几乎处处为零」，右边用「零集不改变简单函数的积分」。所以收敛只在 a.e. 上成立就够。