L¹ 是向量空间

说明

证明。

• 非负函数的可加性：$f, g \in L^{+}$ 时，$\int(f+g) = \int f + \int g$ —— 对简单函数逐条验证（线性性），再用简单函数逼近 + 单调收敛定理取极限 ✓；齐次性 $\int cf = c\int f$（$c \ge 0$）同理 ✓。
• 一般实值：$f = f^{+} - f^{-}$、$g = g^{+} - g^{-}$，展开 $(af+bg)^{\pm}$ 并把上面的线性性逐项用上，得 $\int(af+bg) = a\int f + b\int g$ ✓（复值再对实部虚部各做一次）。
• 是向量空间：$f, g \in L^{1}$、$a, b \in \mathbb{R}$ 时

故 $af+bg \in L^{1}$ ✓；元素的加法与数乘按 a.e. 意义定义（两个 a.e. 相等的可积函数视为同一元素），$\int$ 在这个商下良定义 ✓。∎

「是向量空间」要在 a.e. 意义下理解（两个 a.e. 相等的可积函数看作同一个元素）。

线性来自正负部分解后对简单函数的 (a)(b) 逐条验证 —— 这条本身不深，但它是 $L^{1}$ 成为赋范空间的第一步，后面 Lp 空间整套理论都从这儿开始。