简单函数的积分

简单函数的积分：加权和

def.integral-simple · 定义 · 积分 · 简单函数

又称简单函数的积分·简单积分

陈述

设 φ∈L+\varphi \in L^+ 是简单函数，写成标准形式

φ=∑j=1najχEj,aj≥0,Ej∈M 两两不交\varphi = \sum_{j=1}^{n} a_j \chi_{E_j}, \quad a_j \ge 0, E_j \in \mathcal{M}\text{ 两两不交}

则定义

∫φdμ:=∑j=1najμ(Ej)\int \varphi d\mu := \sum_{j=1}^{n} a_j \mu(E_j)

说明

这就是「面积 == 各层高度 ×\times 各层测度」—— 完全照着 Riemann 和的样子写，只是把区间换成了可测集。

要检查良定义：同一个 φ\varphi 可以写成不同的标准形式（比如把某个 EjE_{j} 再拆开），但由 μ\mu 的有限可加性，结果一样。

约定 0⋅∞=00 \cdot \infty = 0：这一步很关键 —— 它让「在无穷测度集上取 0 的函数」积分为 0，符合直觉。

它指向谁（出边）

定义引用 2

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 1 条

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