# 简单函数的积分　`def.integral-simple`
简单函数的积分：加权和
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设 $\varphi \in L^+$ 是简单函数，写成标准形式

$$\varphi = \sum_{j=1}^{n} a_j \chi_{E_j}, \quad  a_j \ge 0, E_j \in \mathcal{M}\text{ 两两不交}$$

则定义

$$\int \varphi d\mu := \sum_{j=1}^{n} a_j \mu(E_j)$$

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.simple-function`](../nodes/def.simple-function.md) 简单函数：用到了定义 简单函数　[proofs/def-link.simple-integral-def.md](../proofs/def-link.simple-integral-def.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/def.integral-simple.2.md](./def.integral-simple.2.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- …另有出边，续页见 [nodes/def.integral-simple.3.md](./def.integral-simple.3.md)

refs: Folland, Real Analysis, §2.2

> 说明见 `notes/def.integral-simple.md`

引用：`def.integral-simple`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)