L¹ 的逐项积分

谁指向它（入边）

推出 1

• 逐项积分、积分为零 ⟺ 几乎处处为零 ⟹ 本页推出
  非负逐项积分 + 零集判定 $\implies L^{1}$ 的逐项积分

  设 $\sum_j \int |f_j| < \infty$。

  ① 绝对收敛 a.e.。 令 $g = \sum_j |f_j| \in L^+$。由非负函数的逐项积分，

  $$\int g = \sum_j \int |f_j| < \infty$$

  由「积分有限的后果」，$g < \infty \text{a.e.}$，即 $\sum_j |f_j(x)| < \infty$ 对 a.e. x 成立。所以 $\sum_j f_j(x)$ 对 a.e. x 绝对收敛。

  ② 定义 $f$。 令 $f(x) = \sum_j f_j(x)$（在收敛的 a.e. 点上），其余点随意取 0。则 $|f| \le g$，故 $f \in L^{1}$。

  ③ 部分和被控制。 部分和 $s_N = \sum_{j\le N} f_j$ 满足 $|s_N| \le g \in L^1$。

  ④ 用 DCT。 $s_N \to f$ a.e.，且被 $g$ 控制，故

  $$\int f = \lim_{N\to\infty} \int s_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{j\le N} \int f_j = \sum_{j=1}^{\infty} \int f_j$$

  （中间一步用 $L^{1}$ 的线性。）∎