L¹ 函数的支撑 σ-有限

说明

证明。 令 $g := |f| \in L^{+}$。则 $\int g\,\mathrm{d}\mu = \int|f|\,\mathrm{d}\mu < \infty$（$f \in L^{1}$ 的定义），于是由「积分有限的后果」，$\{g > 0\}$ 是 $\sigma$ 有限的；而

故 $\{f \ne 0\}$ 是 $\sigma$ 有限的 ✓。∎ ⭐ 这条常被用来把 $L^{1}$ 函数化归到 $\sigma$ 有限的情形（先除掉零集、再逐块处理）。

把「积分有限的后果」分别用到 |f| 上即可：$\{f \ne 0\} = \{|f| > 0\}$。