L¹ 里的逼近

① 先用简单函数逼近。 由「$L^{1}$ 里的逼近」，取简单函数列 $\{\varphi_n\}$ 使 $\int|f - \varphi_n| \to 0$；取子列还可保证 $\varphi_n \to f$ a.e.（由 $L^{1}$ 收敛 $\implies$ 依测度收敛 + 抽 a.e. 子列）。而简单函数是有限个可测集的特征函数之和。

② 先对「指示函数」办到。 对可测集 $A \subseteq [a, b]$ 与任意 $\varepsilon > 0$，由测度的正则性可找到紧集 $E \subseteq A$ 使 $\mu(A \setminus E) < \varepsilon$，于是 $\chi_A|_{E}$ 连续（在 $E$ 上恒为 1）。有限多个这样的紧集取交，就能让一整个简单函数在某个紧集上连续。

③ 用 Egorov 把「几乎处处」升级成「一致」。 把 ①② 得到的「在紧集上连续」逐步加细：取一列越来越好的紧集，用 Egorov 保证 $\varphi_n \to f$ 在某块丢掉任意小测度的集合后一致收敛。一致收敛保持连续性，故 $f$ 限制在剩下的那个紧集上连续。

④ 收尾。 每一步丢掉的测度都可以预先取得任意小，全部并起来仍小于 $\varepsilon$（把 $\varepsilon$ 预先换成 $\varepsilon /3$、$\varepsilon /9$、… 再求和）。于是得到一个紧集 $E \subseteq [a, b]$，$\mu(E^c) < \varepsilon$ 且 $f|_E$ 连续。∎

$>$ ⭐ 核心思想与 Egorov 一样是「丢掉一小块，换取好性质」：这次换到的是连续性。

① 先局部化。 由 $L^{1}_{l}oc$ 的定义与测度的可数可加性，只需对每个 $N \in \mathbb{N}$ 证明在球 $\{|x| \le N\}$ 上几乎处处成立；把 $f$ 换成 $f\cdot\chi_{B(N+1, 0)}$ 后即可设 $f \in L^1$。

② 用连续函数逼近。 给定 $\varepsilon > 0$，由「$L^{1}$ 里的逼近」，取连续函数 $g$ 使

③ 连续情形是白送的。 若 $g$ 连续，则对每一个 $x$ 都有 $A_r g(x) \to g(x)$（$r \to 0$）—— 因为 $g$ 在 $x$ 附近近似为常数。

④ 把差值压住。 对任意 $x$，

（第一项用 $|A_r(f-g)| \le A_r|f-g| \le H(f-g)$，第二项由 ③ 取 $r \to 0$）。

⑤ 估计坏集。 令

由 ④，$E_\alpha \subseteq F_{\alpha/2} \cup \{x : H(f-g)(x) > \alpha/2\}$，其中 $F_{\alpha/2} = \{|f - g| > \alpha/2\}$。于是

（第一项用 Markov 不等式，第二项用极大定理。）

⑥ 令 $\varepsilon \to 0$。 右边对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，故 $m(E_\alpha) = 0$ 对一切 $\alpha > 0$ 成立。于是

而右边是可数个零集之并，仍是零集。∎