Lusin 定理

谁指向它（入边）

推出 1

• L¹ 里的逼近、Egorov 定理 ⟹ 本页推出
  简单函数逼近 + Egorov $\implies$ Lusin

  ① 先用简单函数逼近。 由「$L^{1}$ 里的逼近」，取简单函数列 $\{\varphi_n\}$ 使 $\int|f - \varphi_n| \to 0$；取子列还可保证 $\varphi_n \to f$ a.e.（由 $L^{1}$ 收敛 $\implies$ 依测度收敛 + 抽 a.e. 子列）。而简单函数是有限个可测集的特征函数之和。

  ② 先对「指示函数」办到。 对可测集 $A \subseteq [a, b]$ 与任意 $\varepsilon > 0$，由测度的正则性可找到紧集 $E \subseteq A$ 使 $\mu(A \setminus E) < \varepsilon$，于是 $\chi_A|_{E}$ 连续（在 $E$ 上恒为 1）。有限多个这样的紧集取交，就能让一整个简单函数在某个紧集上连续。

  ③ 用 Egorov 把「几乎处处」升级成「一致」。 把 ①② 得到的「在紧集上连续」逐步加细：取一列越来越好的紧集，用 Egorov 保证 $\varphi_n \to f$ 在某块丢掉任意小测度的集合后一致收敛。一致收敛保持连续性，故 $f$ 限制在剩下的那个紧集上连续。

  ④ 收尾。 每一步丢掉的测度都可以预先取得任意小，全部并起来仍小于 $\varepsilon$（把 $\varepsilon$ 预先换成 $\varepsilon /3$、$\varepsilon /9$、… 再求和）。于是得到一个紧集 $E \subseteq [a, b]$，$\mu(E^c) < \varepsilon$ 且 $f|_E$ 连续。∎

  $>$ ⭐ 核心思想与 Egorov 一样是「丢掉一小块，换取好性质」：这次换到的是连续性。

  路线是「Egorov + 简单函数逼近」。