Egorov 定理

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Lusin 定理推出
  简单函数逼近 + Egorov $\implies$ Lusin

  ① 先用简单函数逼近。 由「$L^{1}$ 里的逼近」，取简单函数列 $\{\varphi_n\}$ 使 $\int|f - \varphi_n| \to 0$；取子列还可保证 $\varphi_n \to f$ a.e.（由 $L^{1}$ 收敛 $\implies$ 依测度收敛 + 抽 a.e. 子列）。而简单函数是有限个可测集的特征函数之和。

  ② 先对「指示函数」办到。 对可测集 $A \subseteq [a, b]$ 与任意 $\varepsilon > 0$，由测度的正则性可找到紧集 $E \subseteq A$ 使 $\mu(A \setminus E) < \varepsilon$，于是 $\chi_A|_{E}$ 连续（在 $E$ 上恒为 1）。有限多个这样的紧集取交，就能让一整个简单函数在某个紧集上连续。

  ③ 用 Egorov 把「几乎处处」升级成「一致」。 把 ①② 得到的「在紧集上连续」逐步加细：取一列越来越好的紧集，用 Egorov 保证 $\varphi_n \to f$ 在某块丢掉任意小测度的集合后一致收敛。一致收敛保持连续性，故 $f$ 限制在剩下的那个紧集上连续。

  ④ 收尾。 每一步丢掉的测度都可以预先取得任意小，全部并起来仍小于 $\varepsilon$（把 $\varepsilon$ 预先换成 $\varepsilon /3$、$\varepsilon /9$、… 再求和）。于是得到一个紧集 $E \subseteq [a, b]$，$\mu(E^c) < \varepsilon$ 且 $f|_E$ 连续。∎

  $>$ ⭐ 核心思想与 Egorov 一样是「丢掉一小块，换取好性质」：这次换到的是连续性。

  路线是「Egorov + 简单函数逼近」。

谁指向它（入边）

推出 1

• 五种收敛 ⟹ 本页推出
  a.e. 收敛 + 有限测度 $\implies$ 近一致

  设 $f_n \to f$ a.e.，$\mu(X) < \infty$。

  ① 收敛点集与坏集合。 令 $F = \{x : f_n(x) \to f(x)\}$，则 $\mu(F^c) = 0$。对每个固定的 $k \in \mathbb{N}$ 令

  $$E_n(k) = \bigcup_{m \ge n} \{x : |f_m(x) - f(x)| \ge k^{-1}\}$$

  （「从第 $n$ 项起还有偏差 $\ge 1/k$ 的点」）。

  ② 对固定 $k$，$E_n(k)$ 随 $n$ 递减，且 $\bigcap_n E_n(k) = F^c$。（若 $x$ 最终偏差都 $< 1/k$，就不在任何足够靠后的 $E_n(k)$ 里。）

  ③ 用有限测度取极限。 由 $\mu(X) < \infty$ 与测度的上连续性（递减列），

  $$\mu(E_n(k)) \to \mu(F^c) = 0\quad (n \to \infty)$$

  ④ 挑出「足够快趋于 0」的那些 $n$。 给定 $\varepsilon > 0$，对每个 $k$ 选 $n_k$ 使

  $$\mu(E_{n_k}(k)) < \varepsilon \cdot 2^{-k}$$

  ⑤ 并起来。 令 $E = \bigcup_k E_{n_k}(k)$。则

  $$\mu(E) \le \sum_k \mu(E_{n_k}(k)) < \varepsilon \cdot \sum_k 2^{-k} = \varepsilon$$

  ⑥ 在 $E^c$ 上一致收敛。 取 $x \notin E$。对任意 $k$，$x \notin E_{n_k}(k)$，即对一切 $n \ge n_k$ 有

  $$|f_n(x) - f(x)| < k^{-1}$$

  这正是「$f_n \rightrightarrows f$ 在 $E^c$ 上」的定义（给定精度 $k^{-1}$ $\le \varepsilon$ 后，取 $N = n_k$）。∎

  $>$ ⚠ ③ 是唯一用到 $\mu(X) < \infty$ 的地方（递减列的上连续性需要首项有限）。少了它这一步就不成立，反例见节点正文。

定义引用 2

• 五种收敛 → 本页定义引用

  Egorov 定理说的是其中两种收敛（a.e. 与近一致）的关系。

• 测度 → 本页定义引用

  证明的 ③ 靠测度的上连续性，而那是可数可加性的推论。