连续 ⟹ Borel 可测

谁指向它（入边）

推出 1

• 可测性的两条判定准则 ⟹ 本页推出
  连续 $\implies$ Borel 可测

  设 $f : X \to Y$ 连续，即每个开集的原像是开集。

  由定义 $\mathfrak{B}_Y = \mathcal{M}(\{ U \subseteq Y : U\text{ 开} \})$，用判定准则 (2)：只需对生成元（开集）验证原像可测。对开集 $U$，$f^{-1}(U)$ 是 $X$ 中的开集，因而 $\in \mathfrak{B}_X$。故 $f$ 可测。∎

  $>$ 注意这个坑：这个论证对 $(\mathfrak{B}, \mathfrak{B})$ 成立，但对 $(\mathcal{L}, \mathcal{L})$ 不成立 —— 因为 $\mathcal{L}$ 并不由开集生成，它比 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$ 多了很多非 Borel 的零测集子集。

定义引用 1

• 连续 → 本页定义引用

  「连续 $\implies$ Borel 可测」要把连续的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义翻译成开集的原像。