可测性的两条判定准则

说明

证明。 (1) 复合：对 $E \in \mathcal{O}$ 有 $(g \circ f)^{-1}(E) = f^{-1}\bigl(g^{-1}(E)\bigr)$；由 $g$ 可测得 $g^{-1}(E) \in \mathcal{N}$，再由 $f$ 可测得 $f^{-1}(\cdot) \in \mathcal{M}$ ✓。 (2) 只需验证生成元：

• $(\Longleftarrow)$ 令 $\mathcal{C} := \{\, E \subseteq Y : f^{-1}(E) \in \mathcal{M} \,\}$。原像保持并、交、补（$f^{-1}(E^{c}) = X \setminus f^{-1}(E)$），故 $\mathcal{C}$ 是 $Y$ 上的 $\sigma$代数 ✓；由假设 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}$，取生成的 $\sigma$代数得 $\mathcal{N} = \mathcal{M}(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{C}$，即一切 $E \in \mathcal{N}$ 的原像都可测 ✓。
• $(\implies)$ 按可测的定义即得 ✓。

同一论证可用于任何「生成它的族」：拓扑空间上只需开集（或闭集、或基元素）；$\mathbb{R}$ 上只需 $(-\infty, a]$ 这类射线 ✓。∎

(1)：对 $E \in \mathcal{O}$ 有 $(g\circ f)^{-1}(E) = f^{-1}(g^{-1}(E))$，两层都可测。

(2) 的 $(\Longleftarrow )$：令 $\mathcal{C} = \{ E \subseteq Y : f^{-1}(E) \in \mathcal{M} \}$。因为原像保持并、交、补，$\mathcal{C}$ 是一个 $\sigma$代数；题设说 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}$，于是 $\mathcal{M}(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{C}$，即所有可测集的原像都可测。

(2) 是整段里最常用的判定工具：要证 $f$ 可测，只需在一小族生成元上验证 —— 比如 $\mathbb{R}$ 值函数只需验证 $f^{-1}((a, \infty))$ 可测。