简单函数逼近approximation by simple functions

说明

证明。 (a) 对 $n \ge 1$、$k = 0, 1, \ldots, 2^{n}n - 1$ 令

• 简单：每个 $E_{n,k}$、$F_{n}$ 可测（$f$ 可测 + 区间是 Borel 集），只有有限多个取值 ✓；
• $0 \le \varphi_{n} \le f$：在 $E_{n,k}$ 上 $k2^{-n} < f \le (k+1)2^{-n}$ ✓；在 $F_{n}$ 上 $n < f$ ✓；其余为零 ✓；
• 单调：$n \to n+1$ 时区间按 $2^{-(n+1)}$ 加细、上限从 $n$ 升到 $n+1$，逐点算一遍即知 $\varphi_{n} \le \varphi_{n+1}$ ✓；
• 逐点收敛：若 $f(x) < \infty$，取 $n > f(x)$ 后 $0 \le f(x)-\varphi_{n}(x) \le 2^{-n} \to 0$；若 $f(x) = +\infty$ 则 $\varphi_{n}(x) = n \to \infty$ ✓；
• 在有界集上一致：$f \le M$ 时取 $n > M$，同样得 $|f-\varphi_{n}| \le 2^{-n}$，与 $x$ 无关 ✓。

(b) 一般可测 $f$：写成 $f = (f_{1}^{+} - f_{1}^{-}) + i(f_{2}^{+} - f_{2}^{-})$，对四个非负可测部分各用 (a) 得单调列，再把实部虚部、正部负部线性组合起来；由于每一步都满足 $|\varphi_{n}| \le |f|$、逐点收敛，结论成立 ✓。∎

(a) 的构造就是「切蛋糕」：把值域在 [0, n) 上按 $2^{-n}$ 切碎，超过 $n$ 的部分一律抹成 $n$ ——

每一层都是可测集的原像，所以 $\varphi _{n}$ 是简单函数；$n$ 越大格子越细、天花板越高，于是单调递增地爬到 $f$。

(b) 把 $f = g + ih$ 拆成 $g = g^+ - g^-$、$h = h^+ - h^-$，对四个非负部分用 (a)：