五种收敛modes of convergence

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Egorov 定理推出
  a.e. 收敛 + 有限测度 $\implies$ 近一致

  设 $f_n \to f$ a.e.，$\mu(X) < \infty$。

  ① 收敛点集与坏集合。 令 $F = \{x : f_n(x) \to f(x)\}$，则 $\mu(F^c) = 0$。对每个固定的 $k \in \mathbb{N}$ 令

  $$E_n(k) = \bigcup_{m \ge n} \{x : |f_m(x) - f(x)| \ge k^{-1}\}$$

  （「从第 $n$ 项起还有偏差 $\ge 1/k$ 的点」）。

  ② 对固定 $k$，$E_n(k)$ 随 $n$ 递减，且 $\bigcap_n E_n(k) = F^c$。（若 $x$ 最终偏差都 $< 1/k$，就不在任何足够靠后的 $E_n(k)$ 里。）

  ③ 用有限测度取极限。 由 $\mu(X) < \infty$ 与测度的上连续性（递减列），

  $$\mu(E_n(k)) \to \mu(F^c) = 0\quad (n \to \infty)$$

  ④ 挑出「足够快趋于 0」的那些 $n$。 给定 $\varepsilon > 0$，对每个 $k$ 选 $n_k$ 使

  $$\mu(E_{n_k}(k)) < \varepsilon \cdot 2^{-k}$$

  ⑤ 并起来。 令 $E = \bigcup_k E_{n_k}(k)$。则

  $$\mu(E) \le \sum_k \mu(E_{n_k}(k)) < \varepsilon \cdot \sum_k 2^{-k} = \varepsilon$$

  ⑥ 在 $E^c$ 上一致收敛。 取 $x \notin E$。对任意 $k$，$x \notin E_{n_k}(k)$，即对一切 $n \ge n_k$ 有

  $$|f_n(x) - f(x)| < k^{-1}$$

  这正是「$f_n \rightrightarrows f$ 在 $E^c$ 上」的定义（给定精度 $k^{-1}$ $\le \varepsilon$ 后，取 $N = n_k$）。∎

  $>$ ⚠ ③ 是唯一用到 $\mu(X) < \infty$ 的地方（递减列的上连续性需要首项有限）。少了它这一步就不成立，反例见节点正文。

定义引用 3

• 四个标准反例 用到 本页定义引用

  四个反例各自击破一种收敛的逆命题。

• Egorov 定理 用到 本页定义引用

  Egorov 定理说的是其中两种收敛（a.e. 与近一致）的关系。

• L¹ 收敛 ⟹ 依测度收敛 用到 本页定义引用

  两种收敛的定义直接对照。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 可测函数 → 本页定义引用

  五种收敛里的 $f_n$ 与 $f$ 都要求可测。

• 测度 → 本页定义引用

  a.e. 收敛与依测度收敛里的零集、$\mu(\{\cdots\})$ 都用测度。

• 可积 / L¹ → 本页定义引用

  $L^1$ 收敛是 $\int |f_n - f| \to 0$，用到可积这个概念。