完备化后可改在零集上

命题：完备化空间上的可测函数，几乎处处等于一个原空间可测函数

命题
依赖深度 layer 17
分析学
可测函数与收敛

prop.completion-measurable-function · 命题 · 完备化 · 可测函数

又称完备化可改零集

陈述

设 $(X, \mathcal{M}, \mu )$ 是测度空间， $(X, \bar{\mathcal{M}}, \bar{\mu})$ 是它的完备化（见「完备化定理」）。若 $f$ 是 $\bar{\mathcal{M}}$ -可测的函数，则存在 $\mathcal{M}$ 可测的函数 $g$ 使

f = g\quad \bar{\mu}-\text{a.e.}

说明

直观：完备化只多加了零集的子集，所以 $\bar{\mathcal{M}}$ 可测函数与 $\mathcal{M}$ 可测函数只差在零集上的取值。

证明思路：先看 $f = \chi_E$ 的情形（此时 $E = E' \cup F$ ， $E' \in \mathcal{M}$ 、 $F$ 含于零集，取 $g = \chi_{E'}$ ）；对 $\mathcal{M}$ 可测的简单函数显然；一般情形取简单函数列 $\{\varphi_n\} \to f$ ，每个 $\varphi_n$ 在某个 $\bar{\mathcal{M}}$ 零集 $E_n$ 外等于一个 $\mathcal{M}$ 可测的 $\psi_n$ 。把零集并起来得 $N \in \mathcal{M}$ ， $\mu(N) = 0$ ， $N \supseteq \bigcup E_n$ ，令

g = \lim_n \chi_{N^c} \cdot \varphi_n

则 $g = f$ 在 $N^c$ 上成立，且 $g$ 是 $\mathcal{M}$ 可测的。

谁指向它（入边）

推出 1

完备化定理 ⟹ 本页推出

完备化定理 $\implies$ 完备空间上的可测函数可改在零集上

完备化 $(X, \bar{\mathcal{M}}, \bar{\mu})$ 相对 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 只多做了一件事：把零集的子集也收进 $\sigma$ 代数。所以两个 $\sigma$ 代数只在零集上不同。
先取 $f = \chi_E$ ：此时 $E = E' \cup F$ ， $E' \in \mathcal{M}$ 、 $F$ 含于某个 $\mathcal{M}$ 零集，取 $g = \chi_{E'}$ 即有 $f = g$ a.e.。对 $\mathcal{M}$ 可测的简单函数显然成立（有限线性组合）。
一般情形取简单函数列 $\varphi_n \to f$ ，每个 $\varphi_n$ 在一个 $\bar{\mathcal{M}}$ 零集 $E_n$ 外等于某个 $\mathcal{M}$ 可测的 $\psi_n$ 。把 $N := \bigcup_n E_n$ 并起来（可数并仍是零集），令 $g := \lim_n \chi_{N^c} \cdot \varphi_n$ —— 它在 $N^c$ 上等于 $f$ ，且作为 $\mathcal{M}$ 可测函数的极限仍 $\mathcal{M}$ 可测。∎

定义引用 2

零集与完备 → 本页定义引用

证明里全程在用零集。
几乎处处 → 本页定义引用

结论 $f = g$ 是 $\bar{\mu}$ -a.e. 成立的。

参考

Folland, Real Analysis, Prop. 2.12

完备化后可改在零集上

陈述

说明

谁指向它（入边）

推出 1

定义引用 2

参考

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