依测度 Cauchy

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 依测度 Cauchy ⟹ 收敛推出
  依测度 Cauchy $\implies$ 依测度收敛且有一子列 a.e. 收敛

  ① 先抽子列，使「坏集合」的总测度有限。 由 Cauchy 性，对每个 $k$ 存在 $N_k$ 使

  $$\mu(E_k) \le 2^{-k}, \quad \text{ 其中} E_k = \{x : |f_n(x) - f_{N_k}(x)| \ge 2^{-k}\}\quad (n \ge N_k)$$

  不妨取 $N_1 < N_2 < \cdots$。记 $g_j = f_{N_j}$。

  ② 让坏集合的尾并收敛。 令

  $$F_k = \bigcup_{j \ge k} E_j, \quad \text{ 则} \mu(F_k) \le \sum_{j\ge k} 2^{-j} = 2^{1-k} \to 0$$

  ③ 在 $F_k^c$ 上一致 Cauchy。 若 $x \notin F_k$，则对一切 $i \ge j \ge k$ 有 $x \notin E_j$，于是

  $$|g_i(x) - g_j(x)| \le 2^{1-j}$$

  所以 $\{g_j\}$ 在 $F_k^c$ 上一致收敛（Cauchy 且界趋于 0）。

  ④ 造极限 $f$。 令 $F = \bigcap_k F_k^c$，则

  $$\mu(F) = \mu(X \setminus \bigcup_k F_k) \ge \mu(X) - \mu(F_k)\quad \forall k\quad \implies\quad \mu(F^c) = 0$$

  在 $F$ 上令 $f(x) = \lim_j g_j(x)$，在 $F^c$ 上任取 0。$f$ 是可测函数（可测函数的极限）。于是 $g_j \to f$ a.e.

  ⑤ 换成依测度。 取定 $k$，对 $j \ge k$、$x \in F_k^c$ 有 $|g_j(x) - f(x)| \le 2^{1-j}$。于是对任意 $\delta > 0$，

  $$\mu(\{|g_j - f| > \delta\}) \le \mu(F_k) \le 2^{1-k}\quad (j\text{ 充分大})$$

  令 $k \to \infty$ 得 $g_j \to f$ 依测度。

  ⑥ 把 $f_{n}$ 也拉进来。 对任意 $\varepsilon > 0$，

  $$\{|f_n - f| \ge \varepsilon\} \subseteq \{|f_n - g_j| \ge \varepsilon/2\} \cup \{|g_j - f| \ge \varepsilon/2\}$$

  右边第一项由 Cauchy 性（取 $g_j = f_{N_j}$ 足够靠后）任意小，第二项由 ⑤ 任意小。故 $f_n \to f$ 依测度。∎

  ② 里 $\sum 2^{-k} < \infty$ 是关键 —— 正是这一条让「坏集合的尾并」趋于零，也就是 Borel–Cantelli 的精神。

定义引用 1

• 依测度 Cauchy ⟹ 收敛 用到 本页定义引用

  定理把「依测度 Cauchy」升级成「依测度收敛 + a.e. 子列」。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 可测函数 → 本页定义引用

  依测度 Cauchy 是可测函数列的性质。

• 测度 → 本页定义引用

  定义里的 $\mu(\{\cdots\})$ 是测度。