四个标准反例

命题：四个标准反例（把各种收敛区分开）

prop.convergence-counterexamples · 反例 · 收敛 · 依测度

又称反例·收敛的反例·标准反例

陈述

在 $\mathbb{R}$ （或 [0, 1]）上取 Lebesgue 测度。

(i) $f_n = n^{-1} \chi_{(0, n)}$ ： $f_n \rightrightarrows 0$ 一致收敛。
(ii) $f_n = \chi_{(n, n+1)}$ ： $f_n \to 0$ 逐点（因而 a.e.），但不一致（ $\sup_x |f_n| = 1$ ），也不 $L^{1}$ 收敛（ $\int f_n = 1 \nrightarrow 0$ ）。
(iii) $f_n = n \chi_{[0, 1/n]}$ ： $f_n \to 0$ a.e.（也依测度收敛，因为 $\mu(\{|f_n| > \delta\}) = 1/n \to 0$ ），但不 $L^{1}$ 收敛（ $\int f_n = 1$ 对一切 $n$ ）。
(iv) 二进制填充：把右下角越来越小的区间排成一列 ——

f_1 = \chi_{[0,1]}, f_2 = \chi_{[0,1/2]}, f_3 = \chi_{[1/2,1]}, f_4 = \chi_{[0,1/4]}, \cdots

即 $f_n = \chi_{[j/2^k, (j+1)/2^k]}$ （ $n = 2^k + j$ ）：它依测度收敛到 0，但对任何 $x \in [0,1]$ 都不收敛。

四个例子逐条验证。

(i) 一致但不 $L^{1}$ ： $f_{n} = \frac1n\chi_{(0,n)}$ ， $\sup_{x}|f_{n}(x)| = \frac1n \to 0$ ，故一致收敛 ✓；但 $\int f_{n}\,\mathrm{d}m = 1 \not\to 0$ ，所以不 $L^{1}$ 收敛 ✓（质量往外跑，越来越扁越来越长）。
(ii) 逐点但不一致、不 $L^{1}$ ： $f_{n} = \chi_{(n, n+1)}$ ，对每个固定的 $x$ ， $n > x$ 之后 $f_{n}(x) = 0$ ，故逐点（因而 a.e.）收敛到 $0$ ✓；但 $\sup_{x}|f_{n}| = 1$ 不趋于 $0$ $\implies$ 不一致收敛 ✓，且 $\int f_{n} = 1 \not\to 0$ $\implies$ 不 $L^{1}$ 收敛 ✓。
(iii) a.e. 但不 $L^{1}$ 、也不被可积函数控制： $f_{n} = n\,\chi_{(0, 1/n)}$ ，逐点收敛到 $0$ ✓，但 $\int f_{n} = 1$ ；任何可积控制函数 $g$ 都要满足 $g \ge n\chi_{(0,1/n)}$ 无穷多次，从而 $\int g = \infty$ $\implies$ 控制收敛定理里的控制函数不能省 ✓。
(iv) 依测度但不 a.e.：把 $[0,1]$ 按 $2^{-m}$ 等分（ $m = 1, 2, \ldots$ ），第 $m$ 层依次取各单位区间的特征函数排成一列 $f_{1}, f_{2}, \ldots$ 。 $m(E_{n}) = 2^{-m} \to 0$ $\implies$ 依测度收敛 ✓；但每个点都被无穷多次盖住、也被无穷多次漏掉，故 $f_{n}(x)$ 对每个 $x$ 都不收敛 ✓。∎

⭐ 机制：区间越来越窄，但位置不停地搬家 —— 质量在每一处只停留一瞬，所以处处不收敛，而出错集合的测度趋于零。

(iii) 是「a.e. 收敛 $\nRightarrow L^{1}$ 收敛」的标准反例 —— 也是 DCT 里「控制函数不能省」的根据。

(iv) 是「依测度收敛 $\nRightarrow$ a.e. 收敛」的标准反例。它的机制很值得记住：每次取一个越来越窄的区间，但位置不停地搬家 —— 质量在每一处都只停留一瞬间，所以每点都不收敛，但「出错集合」的测度趋于 0。

⭐ 这四个例子基本覆盖了所有反方向的护栏：一致最强、依测度最弱、a.e. 与 $L^{1}$ 各自独立。