可测函数的封闭性

谁指向它（入边）

推出 1

• 简单函数、简单函数逼近 ⟹ 本页推出
  简单函数逼近 $\implies$ 可测函数在极限下封闭

  ① 上确界。 设 $f_j$ 可测。要证 $\sup_j f_j$ 可测。由判定准则 (2)，只需对生成元 $(a, +\infty]$（$a \in \mathbb{R}$）验证：

  $$(\sup_j f_j)^{-1}((a, +\infty]) = \bigcup_j f_j^{-1}((a, +\infty]) \in \mathcal{M}$$

  是可数并，故可测。

  ② 下确界。 $\inf_j f_j = -\sup_j(-f_j)$，而取负保持可测性，故 inf 也可测。

  ③ 极限。 $\liminf_j f_j = \sup_n \inf_{j \ge n} f_j$，由 ①② 可测；同理 $\limsup$ 可测。当极限存在时两者相等，故极限可测。

  ④ 和与积。 先看 $f + g$：对任意 $a \in \mathbb{R}$，

  $$\{f + g > a\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} ( \{f > q\} \cap \{g > a - q\} )$$

  （左边 $\subseteq$ 右边：取有理数 $q$ 夹在 $a - g$ 与 $f$ 之间；反向显然。）右边是可数并交，故可测。积 $fg$ 由 $fg = ((f+g)^2 - f^2 - g^2) / 2$ 化归（对非负情形直接验证，一般情形先做正负部分分解）。

  ⑤ 与简单函数的关系。 上面 ①~④ 已经把「可测」做成了一个对极限与代数运算封闭的类；而简单函数逼近定理保证每个非负可测函数都是一列简单函数的逐点极限，所以这个类是「刚好够用」的：从简单函数出发，取极限就得到全部可测函数。∎

  这条是把「sup 可测、max 可测、极限可测、和积可测」几条合并成的总纲 —— 单独看每一条都很碎，合起来才是它的分量。

定义引用 1

• 测度 → 本页定义引用

  封闭性里的极限都是相对测度 $\mu$ 而言的。