# 可测函数的封闭性　`prop.measurable-closure`
命题：可测函数对和、积、sup、max、极限封闭
layer 15 · 命题 · 可测函数与收敛 · 分析学
[在星图里打开](../#n=prop.measurable-closure)　·　[节点索引](../index.md)

以下都设函数取值在 $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty , +\infty ]$ 或 $\mathbb{C}$ 中，且可测。

- **和与积**：$f + g$、$fg$ 可测；
- **逐点上确界**：$\{f_j\}$ 可测 $\implies$ $\sup_j f_j$ 可测；
- **有限个取大**：$f, g$ 可测 $\implies$ $\max_{f, g}$ 可测；
- **极限**：若 $\lim_j f_j$ 逐点存在，则它是可测的。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.measurable-closure.2.md](./prop.measurable-closure.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, Prop. 2.7

> 说明见 `notes/prop.measurable-closure.md`

引用：`prop.measurable-closure`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)