可测函数

可测函数（Measurable Function）

def.measurable-function · 定义 · 可测函数

又称可测函数·measurable function·可测

陈述

设 $(X, \mathcal{M})$ 与 $(Y, \mathcal{N})$ 是可测空间。函数 $f : X \to Y$ 是 $(\mathcal{M}, \mathcal{N})$ 可测的，当且仅当每个可测集的原像可测：

f^{-1}(E) \in \mathcal{M}\quad \forall E \in \mathcal{N}

为什么用「原像」而不是「像」：原像对交、并、补全部保持（ $f^{-1}(\bigcup E_i) = \bigcup f^{-1}(E_i)$ 等），像是没有这些好性质的。所以可测性是「拉回」过去的条件。

等价说法（当 $Y$ 是拓扑空间、 $\mathcal{N} = \mathfrak{B}_Y$ 时）： $f$ 可测 $\iff$ 每个开集的原像可测。

⚠ 「在 $E$ 上可测」是相对说法： $f$ 在 $E$ 上可测 $\iff$ $f|_E$ 关于子空间 $\sigma$ 代数 $\mathcal{M}_E$ 可测。

简单函数用到本页定义引用

简单函数的定义里带着「可测」。
可测性的两条判定准则用到本页定义引用

两条准则都是在可测定义上做的。
Lebesgue 可测用到本页定义引用

Lebesgue / Borel 可测只是把 $(\mathcal{M}, \mathcal{N})$ 取成具体的两对。
截口可测用到本页定义引用

(b) 说的正是「可测函数的截口仍可测」。
L⁺ 用到本页定义引用

$L^+$ 是「取值在 $[0, +\infty]$ 里的可测函数」全体。
五种收敛用到本页定义引用

五种收敛里的 $f_n$ 与 $f$ 都要求可测。
依测度 Cauchy 用到本页定义引用

依测度 Cauchy 是可测函数列的性质。
局部可积用到本页定义引用

局部可积的对象是可测函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ 。
L^p 范数用到本页定义引用

$L^p$ 的元素要求 $f$ 可测且 $\|f\|_p < \infty$ 。
本性上界与 L^∞ 用到本页定义引用

$L^\infty$ 的元素是可测且本性上界有限的函数。

σ-代数 → 本页定义引用

可测空间 $(X, \mathcal{M})$ 就是「集合 $+$ $\sigma$ 代数」；可测性说的是原像落在 $\mathcal{M}$ 里。
映射 → 本页定义引用

可测性的载体是函数 $f : X \to Y$ —— 先有函数，才谈得上「每个可测集的原像可测」。