本性上界与 L^∞

本性上界 $\|f\|_\infty$ 与空间 $L^\infty$

定义
依赖深度 layer 16
分析学
L^p 空间

def.essential-sup · 定义 · L∞ · 本性上界

又称本性上界·essential supremum·L-infinity·L∞ 范数

陈述

定义

\|f\|_\infty := \inf \{\, a \ge 0 : \mu(\{\, |f| > a \,\}) = 0 \,\}

（把 $f$ 在零集上的取值完全忽略之后，它的「真正」上界。）这个下确界是可以取到的：对 $a = \|f\|_\infty$ 本身就有 $\mu(\{|f| > a\}) = 0$ 。

L^\infty(X, \mathcal{M}, \mu) := \{\, f : X \to \mathbb{C} : f \text{ 可测},\ \|f\|_\infty < \infty \,\}

说明

等价说法： $\|f\|_\infty \le M \iff |f(x)| \le M$ 对 a.e. $x$ 成立。

「本性」两个字的意思是：把零集上的糟糕取值统统不算。比如 $f = 0$ a.e. 但 $f$ 在某个零集上取 $+\infty$ ，仍然有 $\|f\|_\infty = 0$ 。

⚠ $\|f\|_\infty$ 与「 $\sup |f|$ 」不同：后者可能因为零集上的一点而变得很大。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

The essential supremum is $\|f\|_\infty := \inf \{a \ge 0 : \mu(\{|f| > a\}) = 0\}$ : the true bound of $f$ once its values on null sets are ignored. The infimum is attained at $a = \|f\|_\infty$ itself, and $\|f\|_\infty \le M \iff |f| \le M$ almost everywhere. Then $L^\infty$ consists of the measurable $f$ with $\|f\|_\infty < \infty$ . Note the difference from $\sup |f|$ , which a single value on a null set can spoil.

它指向谁（出边）

定义引用 3

L^∞ 的性质用到本页定义引用

整条定理都是在处理 $\|\cdot \|_\infty$ 。
L^p ∩ L^r ⊆ L^q 用到本页定义引用

$r = \infty$ 那一端要把 $\|\cdot\|_r$ 读成本性上界。
对偶配对 φ_g 用到本页定义引用

$g \in L^\infty$ 那一头（ $p = 1$ ）要用本性上界。

谁指向它（入边）

定义引用 4

实数系 ℝ → 本页定义引用

本性上界是「 $\mu(\{|f| > a\}) = 0$ 的那些 $a \ge 0$ 的下确界」—— $a$ 是实数。
测度 → 本页定义引用

定义里出现 $\mu(\{ |f| > a \}) = 0$ ，用的是测度。
零集与完备 → 本页定义引用

「把 $f$ 在零集上的取值统统不算」——这正是本性上界的意思。
可测函数 → 本页定义引用

$L^\infty$ 的元素是可测且本性上界有限的函数。

参考

Folland, Real Analysis, §6.1

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