实数系 ℝreal numbers

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ ℝ 是完备有序域推出
  Cauchy 列的等价类 $\implies$ 完备有序域

  记 $\mathcal{C}$ 为有理 Cauchy 列的全体。下面把 $\mathbb{R} := \mathcal{C}/\sim$ 逐条查一遍。

  ① 运算良定义。 设 $x \sim x'$、$y \sim y'$（即 $x_n - x'_n$、$y_n - y'_n$ 都是零列）。

  加法：$|(x_n + y_n) - (x'_n + y'_n)| \le |x_n - x'_n| + |y_n - y'_n| \to 0$（三角不等式）。

  乘法：$x_n y_n - x'_n y'_n = x_n (y_n - y'_n) + y'_n (x_n - x'_n)$，而 Cauchy 列有界（设 $|x_n| \le M$、$|y'_n| \le M'$），故两项各自 $\to 0$。

  ② 域公理。 结合、交换、分配都是逐项验证后取等价类（$\mathbb{Q}$ 满足，$\mathcal{C}$ 对 $+$、$\cdot$ 封闭）。零元 $0 := [$零列$]$、一 $1 := [(1,1,1,\ldots)]$。

  乘法逆元是唯一需要想法的地方：设 $x$ 不是零列。因 $x$ 是 Cauchy 列，「不是零列」意味着

  $$\exists \varepsilon > 0: \forall N, \exists n \ge N,\ |x_n| \ge \varepsilon$$

  取这样的 $\varepsilon$，并用 Cauchy 性取 $N_0$ 使 $m, n \ge N_0$ 时 $|x_m - x_n| < \varepsilon/2$；再取 $n_0 \ge N_0$ 使 $|x_{n_0}| \ge \varepsilon$。则对一切 $n \ge N_0$：

  $$|x_n| \ge |x_{n_0}| - |x_n - x_{n_0}| > \varepsilon - \varepsilon/2 = \varepsilon/2$$

  于是定义 $y_n := 0$（$n < N_0$）、$y_n := 1/x_n$（$n \ge N_0$）。$y$ 是 Cauchy 列，因为

  $$|y_m - y_n| = \frac{|x_m - x_n|}{|x_m|\,|x_n|} \le \frac{4}{\varepsilon^2}\,|x_m - x_n|$$

  而 $[x_n y_n] = [(1,1,1,\ldots)] = 1$。故每个非零元可逆。

  ③ 序良定义 + 全序。 $(y_n - x_n)$ 换成等价的代表元后仍是零列的平移，故「$> 0$」的定义与代表元无关。三种情形恰有一种成立：

  • $x$ 是零列 $\implies [x] = 0$；
  • 否！则由 ② 的估计，从某项起 $|x_n| \ge \delta$；再用 Cauchy 性（取 $\varepsilon = \delta$）知符号最终恒定：若某两项异号则 $|x_m - x_n| \ge 2\delta$，矛盾。于是要么最终 $x_n \ge \delta$（正），要么最终 $x_n \le -\delta$（负）。

  序与运算的相容性（$\alpha \le \beta \implies \alpha + \gamma \le \beta + \gamma$；$\alpha \ge 0, \beta \ge 0 \implies \alpha\beta \ge 0$）都逐项验证。

  ④ 嵌入与稠密。 $x \mapsto [(x,x,x,\ldots)]$ 是保序、保运算的单射。稠密：若 $\alpha < \beta$，取代表元 $x \in \alpha$、$y \in \beta$ 与正有理数 $q$ 使最终 $x_n + q \le y_n$，则由 $\mathbb{Q}$ 的稠密性可取有理数 $r$ 夹在中间，常数列 $r$ 满足 $\alpha < [r] < \beta$。

  ⑤ $\mathbb{R}$ 完备（Cauchy 完备）。 设 $(\alpha_k)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 列，$x^{(k)} \in \alpha_k$ 是代表元。对每个 $k$，由 $(x^{(k)}_n)_n$ 的 Cauchy 性取 $N_k$，令

  $$y_k := x^{(k)}_{N_k}$$

  （对角抽取。）断言 $(y_k)$ 是有理 Cauchy 列：给定 $\varepsilon > 0$，由 $(\alpha_k)$ 的 Cauchy 性取 $K$，使 $k, j \ge K$ 时 $|\alpha_k - \alpha_j| < \varepsilon/3$，即

  $$\exists N, \forall n \ge N : |x^{(k)}_n - x^{(j)}_n| < \varepsilon/3$$

  再取 $K' \ge K$ 使 $k \ge K'$ 时 $1/k < \varepsilon/3$，并对 $k, j \ge K'$ 取 $n \ge \max(N_k, N_j, N)$：

  $$|y_k - y_j| \le |y_k - x^{(k)}_n| + |x^{(k)}_n - x^{(j)}_n| + |x^{(j)}_n - y_j| < \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$

  于是 $\alpha := [y_k] \in \mathbb{R}$。同一组估计给出 $|\alpha_k - \alpha| \le 2\varepsilon/3$（取 $j$ 充分大），故 $\alpha_k \to \alpha$。每个 Cauchy 列在 $\mathbb{R}$ 中收敛。

  ⑥ 由 Cauchy 完备推出确界原理。 设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界 $\beta_0$，取 $\alpha_0 \in S$。归纳地造两个数列：已知 $\alpha_{n-1} \in S$ 与上界 $\beta_{n-1}$，取中点 $m_n := (\alpha_{n-1} + \beta_{n-1})/2$：

  • 若 $m_n$ 是 $S$ 的上界，则置 $\beta_n := m_n$、$\alpha_n := \alpha_{n-1}$；
  • 否则有 $s \in S$ 使 $s > m_n$，置 $\alpha_n := s$、$\beta_n := \beta_{n-1}$。

  于是 $(\alpha_n)$ 递增、$(\beta_n)$ 递减，且

  $$\beta_n - \alpha_n = \frac{\beta_0 - \alpha_0}{2^n} \xrightarrow{\ n \to \infty\ } 0$$

  两个列都是 Cauchy 列（单调 + 步长趋于 $0$），由 ⑤ 收敛到同一个 $\alpha \in \mathbb{R}$。

  $\alpha$ 是上界：若不然，存在 $s \in S$ 使 $s > \alpha$。取 $n$ 充分大使 $\beta_n - \alpha_n < s - \alpha$；由 $\alpha_n \to \alpha$ 又有 $\alpha \le \beta_n$ 与 $\alpha_n \le \alpha$，于是 $\alpha_n + (s - \alpha) > \beta_n$，而 $\alpha_n \in S$ 且 $s \in S$ 都是 $\beta_n$ 下面的元素 —— 与「$\beta_n$ 是上界」矛盾。

  $\alpha$ 是最小上界：任何上界 $\gamma$ 都满足 $\gamma \ge \alpha_n$（$\alpha_n \in S$），取极限得 $\gamma \ge \alpha$。

  故 $\alpha = \sup S$ 存在，确界原理成立。$\blacksquare$

  ⭐ 注意 ⑤ 与 ⑥ 的位置：先有「Cauchy 列收敛」，才有确界原理。戴德金分割那条路的顺序正好相反（那里完备性是「并」的直接后果），两条路殊途同归。

• 本页 ⟹ 完备有序域的唯一性推出
  $\mathbb{Q}$ 稠密 $\implies$ 完备有序域与 $\mathbb{R}$ 同构

  设 $K$ 是完备有序域，取 $K' := \mathbb{R}$（上面构造出来的那个）。分三步造出唯一的同构 $f : K \to \mathbb{R}$。

  ① $\mathbb{Q}$ 的部分被唯一确定。 任何保 $1$ 的域同态都把 $\mathbb{Z}$ 送到 $\mathbb{Z}'$：$n \mapsto n'$（加法与乘法都由 $1$ 递推地定出来），再取分式得 $\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}'$，记作 $q \mapsto q'$。它保序（$q < r \implies r - q > 0 \implies (r-q)' > 0 \implies q' < r'$）。这一步没有选择的余地。

  ② 用上确界把 $f$ 推广出去。 对 $x \in K$ 定义

  $$f(x) := \sup\{\, q' : q \in \mathbb{Q},\ q < x \,\} \in K'$$

  这个上确界存在：集合非空（(i) 阿基米德性给出一个 $q < x$）且有上界（取 $r > x$，则所有 $q < x < r$ 满足 $q' < r'$）。于是 $f$ 是保序的：

  • $x \le y \implies f(x) \le f(y)$：$\{q : q<x\} \subseteq \{q : q<y\}$；
  • $x < y \implies f(x) < f(y)$：由 $\mathbb{Q}$ 稠密取 $q, r$ 使 $x < q < r < y$，则 $f(x) \le q' < r' \le f(y)$。

  保运算：以加法为例，若 $p < x$、$q < y$，则 $p + q < x + y$，故 $f(x) + f(y) \le f(x+y)$；反向用稠密性：任取 $s < x + y$，取有理数 $u < x$ 使 $s - u < y$，则 $s < u + (s - u) < x + y$ 且 $s' \le f(x) + f(y)$，对一切 $s < x+y$ 取上确界得 $f(x+y) \le f(x) + f(y)$。两边相等。乘法同理（先把正元夹在有理数之间，再用符号规则）。

  满射：给定 $y' \in K'$，令 $x := \sup\{q \in \mathbb{Q} : q' < y'\}$（同样由阿基米德性与完备性存在）。任取有理数 $p < x < r$，则 $p' \le y' \le r'$；由 $\mathbb{Q}$ 稠密取 $p \nearrow x$、$r \searrow x$ 代入，得 $f(x) = y'$。

  ③ 唯一性。 设 $g : K \to K'$ 也是这样的同构。由 ① 的「没有选择余地」，$g$ 与 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上一致。任取 $x \in K$，由 $\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密，$x = \sup\{ q \in \mathbb{Q} : q < x \}$；又 $g$ 保序且把上确界送到上确界（保序双射 + 稠密性），故

  $$g(x) = g\big(\sup\{q : q < x\}\big) = \sup\{g(q) : q < x\} = \sup\{q' : q < x\} = f(x)$$

  所以 $f = g$：同构存在且唯一。$\blacksquare$

  ⭐ 三步里每一步都在用前面的准备：① 只用到「$1$ 生成 $\mathbb{Q}$」；② 才真正用完备性（两次取上确界）；③ 用的是$\mathbb{Q}$ 稠密。少任何一条，唯一性就不成立。

定义引用 7

• 扩充实数 [−∞,+∞] 用到 本页定义引用

  扩充实数就是在 $\mathbb{R}$ 上添两个记号。

• 区间 用到 本页定义引用

  区间是 $\mathbb{R}$ 的全序 $\le$ 说出来的：端点之间的都算数。

• 数列极限 用到 本页定义引用

  极限里的 $|x_n - x| < \varepsilon$ 用的是实数的绝对值与序。

• 复数 ℂ 用到 本页定义引用

  $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$，实部虚部都是实数。

• 距离空间 用到 本页定义引用

  距离取值 $d : X \times X \to [0, +\infty) \subseteq \mathbb{R}$，用的是实数的序与绝对值。

• 本性上界与 L^∞ 用到 本页定义引用

  本性上界是「$\mu(\{|f| > a\}) = 0$ 的那些 $a \ge 0$ 的下确界」——$a$ 是实数。

• 函数 用到 本页定义引用

  「数集」指的是 $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 的子集 —— 得先有实数与复数。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• Cauchy 列与零列 → 本页定义引用

  ⭐ $\mathbb{R}$ 的元素就是「Cauchy 列模去零列」这些等价类 —— 构造直接踩在它上面。

• 商集与等价类 → 本页定义引用

  和 $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$ 是同一招：把已有对象按等价关系粘成等价类。整条链 $\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ 用的都是这一个手法。

• 偏序集 → 本页定义引用

  实数系是一个全序域：序公理里说的「全序」就是偏序再加上可比性。