区间

区间（Interval）

def.interval · 定义 · 实数

又称区间·interval

陈述

$\mathbb{R}$ 的区间是满足下式的子集 $I$ ：

a, b \in I,\ a \le x \le b \implies x \in I

即「中间不空」。常见的有界区间写成

(a, b), \quad [a, b], \quad [a, b), \quad (a, b]

按端点是否取到区分；另有 $(-\infty, b)$ 、 $(a, +\infty)$ 、 $\mathbb{R}$ 等无界区间，以及单点集 $[a, a]$ 。

体积就是长度： $m((a, b]) = b - a$ 。

⭐ 半开区间 $\{ (a, b] : a < b \}$ 是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时的起点：它本身只是一个基本类，做有限不交并就得到环，长度在那个环上已经是预测度。

为什么要用半开而不是开区间：不交并的长度好算 —— $[a, b) \sqcup [b, c) = [a, c)$ 在开区间上不成立。

基本类用到本页定义引用

半开区间族 $\{ (a, b] : a < b \}$ 就是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时用的那个基本类。
绝对连续函数用到本页定义引用

绝对连续的定义里，「任意有限个两两不交的区间」说的就是区间。