绝对连续函数

绝对连续函数 AC（Absolutely Continuous Function）

def.ac-function · 定义 · 绝对连续 · AC

又称绝对连续函数·absolutely continuous function·AC 函数

陈述

函数 F:[a,b]→CF : [a, b] \to \mathbb{C} 是绝对连续的，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0: 任意有限个两两不交的区间(aj,bj)⊆[a,b] 满足∑(bj−aj)<δ, 就一定有∑∣F(bj)−F(aj)∣<ε\forall\varepsilon > 0, \exists\delta > 0 :\text{ 任意有限个两两不交的区间} (a_j, b_j) \subseteq [a, b]\text{ 满足} \sum(b_j - a_j) < \delta,\text{ 就一定有} \sum|F(b_j) - F(a_j)| < \varepsilon

说明

⚠ 注意与「一致连续」的区别：一致连续是单个小区间上控制振幅，而绝对连续要求任意多个小区间合起来也能控制 —— 这正是为了堵住 Cantor 函数那种「在零测集上爬升」的情形。

记号：AC([a,b])AC([a, b]) 表示 [a,b][a,b] 上绝对连续的函数全体。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

常见问法 1 条

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