递增函数的导数积分不等式

命题： $\int_{a}^{b} F' \le F(b) - F(a)$

prop.monotone-integral-derivative · 命题 · 递增 · 积分 · 导数

又称递增函数的导数积分不等式

陈述

设 $F \nearrow$ 递增， $G(x) = F(x+)$ （右连续递增）。则

\int_a^b F' \le F(b) - F(a)

证明： $G$ 右连续递增，诱导一个正则 Borel 测度 $\mu _G$ 。写它的 Lebesgue–Radon–Nikodym 分解

d\mu_G = d\lambda + f\cdot dm, \quad f = \lim \mu_G(E_h) / m(E_h)\quad \text{a.e.}

而差商恰好是那个比值，所以 $f = G' = F'$ a.e.。于是

\int_a^b F' = \int_a^b f\cdot dm \le \int_a^b d\mu_G = G(b) - G(a) \le F(b) - F(a)

（中间那个不等号是因为省略了奇异的 $\lambda \ge 0$ 。）∎

⚠ 这里一般不是等号：Cantor 函数是经典反例 —— 它递增、连续、导数 a.e. 为 0，所以左边 $= 0$ 但右边 $= 1$ 。这个差别正是「绝对连续」这个概念要补上的东西。