BV 的 Jordan 分解

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ BV 函数的正则性推出
  化归到递增函数 $\implies BV$ 的正则性

  由Jordan 分解，只需对有界递增函数证明这三条 —— 差的性质自动继承。

  (c) 递增函数 $F$ 在每点都有单侧极限：

  $$F(x-) = \sup_{y < x} F(y), \quad F(x+) = \inf_{y > x} F(y)$$

  （递增数列的有界单调收敛定理。）同理 $F(\pm \infty) = \sup/\inf$ 也存在。

  (d) 由单调函数那条定理的 (a)：不连续点至多可数。

  (e) 由同一条定理的 (b)：$F' = G'$ a.e.，其中 $G(x) = F(x+)$。对 $G - H$ 形式的函数两边相减即可。∎

  $>$ ⭐ 整个证明的模式很典型：先证明「递增」这个好情形，再用 Jordan 分解把一般情形搬过去。

• 本页 ⟹ 测度 ↔ NBV 的一一对应推出
  NBV 的性质 $\implies$ 测度与函数的一一对应

  (1) 测度 $\implies$ 函数。 复测度拆成四个正测度 $\mu = \mu_1^+ - \mu_1^- + i(\mu_2^+ - \mu_2^-)$。令

  $$F_j^{\pm }(x) := \mu_j^{\pm }((-\infty, x])$$

  每个 $F_j^{\pm }$ 递增、右连续、$F_j^{\pm }(-\infty) = 0$、$F_j^{\pm }(+\infty) = \mu_j^{\pm }(\mathbb{R}) < \infty$。于是 $F$ 是四个这样的函数之组合，属于 NBV。

  (2) 函数 $\implies$ 测度。 反之任意 $F \in NBV$ 可以写成

  $$F = F_1^+ - F_1^- + i(F_2^+ - F_2^-)$$

  （用 NBV 版本的 Jordan 分解，注意右连续与 $F(-\infty ) = 0$ 都被差保留。）每个递增右连续、$F(-\infty ) = 0$ 的函数唯一对应一个有限 Borel 测度（取 $\mu ((a,b]) = F(b) - F(a)$，由 Lebesgue–Stieltjes 那一套扩张）；四块加起来即得 $\mu _F$。唯一性来自「$\mu$ 由它在 $(-\infty , x]$ 上的值唯一决定」，而后者生成整个 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$。

  $(3) |\mu _F| = \mu _\{T_F\}$。 由引理，$F \in NBV \implies T_F \in NBV$，所以 $\mu_{T_F}$ 有意义。两边都是 NBV 函数，逐点比较：对任意 $x$，

  $$\mu_{T_F}((-\infty, x]) = T_F(x) = \sup\{ \sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \} = |\mu_F|((-\infty, x])$$

  （中间那个等号是 $|\mu |$ 的全变差定义 + 测度的可数可加性。）由 $(-\infty , x]$ 生成 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$，两个测度相等。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• T_F ± F 递增 ⟹ 本页推出
  $T_F \pm F$ 递增 $\implies BV$ 的 Jordan 分解

  (b) 的 $(\Longleftarrow )$ 方向：若 $F = G - H$（$G$、$H$ 有界递增），则对任意分划

  $$\sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \le \sum|G(x_j) - G(x_{j-1})| + \sum|H(x_j) - H(x_{j-1})| = (G(x) - G(-\infty)) + (H(x) - H(-\infty))$$

  （递增函数的相邻差非负，可以直接去绝对值。）于是 $T_F(x) \le (G+H)(x) - (G+H)(-\infty) < \infty$，$F \in BV$。

  (b) 的 $(\implies )$ 方向：由引理，$T_F + F$ 与 $T_F - F$ 都递增；它们有界（因为 $F \in BV$ 且 $F$ 有界）。令

  $$G := (1/2)(T_F + F), \quad H := (1/2)(T_F - F)$$

  则 $G$、$H$ 有界递增，且

  $$G - H = (1/2)(T_F + F) - (1/2)(T_F - F) = F$$

  ∎

  (a)：把实部虚部分开即可（$|\operatorname{Re} F| \le |F|$、$|F| \le |\operatorname{Re} F| + |\operatorname{Im} F|$，两边夹）。∎

  ⭐ 这叫「函数版的 Jordan 分解」，与符号测度的 $\nu = \nu ^{+} - \nu ^{-}$ 完全平行 —— 事实上两者通过「测度 $\leftrightarrow NBV$」的对应是同一件事。

定义引用 1

• 有界变差 BV → 本页定义引用

  定理的两边都是 BV 这个类。