函数绝对连续 ⟺ 测度绝对连续

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 微积分基本定理（Lebesgue 版）推出
  $(a) \iff (b) \iff (c)$：微积分基本定理的三条等价

  $(a) \implies (b)$。 设 $F$ 绝对连续。由$AC \subseteq BV$，$F \in BV$；把它补成 NBV 里的函数（差一个常数与右连续化，不影响导数的积分）。由绝对连续 $\iff \mu _F \ll m$，写 Lebesgue 分解时奇异部分 $\lambda = 0$，于是 $d\mu_F = f\cdot dm$，即

  $$F(x) - F(a) = \int_a^x f(t) dt$$

  取 $f$ 就是所要的 $L^{1}$ 函数。

  $(b) \implies (c)$。 若 $F(x) - F(a) = \int_a^x f$，则由积分的绝对连续性，$F$ 绝对连续（这是直接验证）；而由微分定理，$d / dx\int_a^x f = f(x)$ a.e.，故 $F' = f$ a.e.、$F' \in L^1$，公式成立。

  $(c) \implies (a)$。 由 (c)，$F$ 在 a.e. 意义下等于一个积分的原函数；把 $F(x) - \int_a^x F'$ 这个差记作 $G$，则 $G$ 绝对连续（$(b) \implies F$ 的那一段）且 $G' = 0 \text{a.e.}$；再由 (b) 的构造（$\mu _G \ll m$ 且密度为 $F' - F' = 0$）得 $G \equiv 0$。故 $F$ 本身绝对连续。∎

  $>$ ⭐ 最容易错的直觉是「a.e. 可导 $F' \in L^{1}$ 就够」——Cantor 函数正是反例：它 a.e. 可导、$F' \equiv 0 \in L^{1}$，但 $\int _{0}^{1} F' = 0 \ne 1$。绝对连续这一条不能省。

  这条定理是整个「有界变差 / 绝对连续」星团的收官：它把函数侧、积分侧、导数侧三个刻画焊在一起。

谁指向它（入边）

推出 1

• NBV 函数的导数与测度的关系、绝对连续的 ε–δ 刻画 ⟹ 本页推出
  $\mu_F \ll m$ 的 $\varepsilon$–$\delta$ 刻画 $\implies$ 函数绝对连续 $\iff$ 测度绝对连续

  $(\Longleftarrow )$ 设 $\mu_F \ll m$。应用测度版绝对连续的 $\varepsilon$–$\delta$ 刻画（注意 $\mu _F$ 有限，符合前提）：给定 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta > 0$ 使

  $$m(E) < \delta\quad \implies\quad |\mu_F(E)| < \varepsilon$$

  现在取有限个两两不交的区间 $(a_j, b_j) \subseteq [a, b]$ 且 $\sum(b_j - a_j) < \delta$，令 $E = \bigsqcup_j (a_j, b_j)$。则 $m(E) < \delta$，于是

  $$\sum_j |F(b_j) - F(a_j)| = \sum_j |\mu_F((a_j, b_j])| \le |\mu_F|(E) < \varepsilon$$

  这正是函数绝对连续的定义。

  $(\implies )$ 设 $F$ 绝对连续，$E \in \mathfrak{B}_\mathbb{R}$、$m(E) = 0$，要证 $\mu_F(E) = 0$。由 $\mu _F$ 的正则性取递减开集列 $U_1 \supseteq U_2 \supseteq \cdots \supseteq E$ 使 $m(U_k) < \delta$、$\bigcap_k U_k = E$。每个 $U_{k}$ 是区间的可数不交并，把函数绝对连续性的条件用在 $U_{k}$ 的有限截断上，得到 $|\mu_F(U_j)| < \varepsilon$；再由测度的上连续性（递减列，首项有限）得

  $$|\mu_F(E)| = \lim_j |\mu_F(U_j)| \le \varepsilon$$

  由 $\varepsilon$ 任意，$\mu_F(E) = 0$。故 $\mu_F \ll m$。∎

定义引用 2

• 绝对连续函数 → 本页定义引用

  这条命题就是要给「绝对连续函数」一个测度论的解释。

• 绝对连续 → 本页定义引用

  同时用到测度版的绝对连续。