绝对连续absolutely continuous

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 绝对连续的 ε–δ 刻画推出
  绝对连续 $\implies \varepsilon$–$\delta$ 刻画（$\nu$ 有限时）

  设 $\nu$ 有限且 $\nu \ll \mu$。由「绝对连续与变差」那条命题，可以不妨设 $\nu$ 本身就是正测度（换成 $|\nu |$ 不影响结论）。

  $(\Longleftarrow )$ 若 $\mu (E) = 0$，则对任意 $\varepsilon > 0$ 有 $\mu (E) < \delta$，于是 $|\nu (E)| \le \varepsilon$；令 $\varepsilon \to 0$ 得 $\nu (E) = 0$。

  $(\implies )$ 反证。 设存在 $\varepsilon > 0$，使对一切 $n$ 都能找到 $E_n \in \mathcal{M}$ 满足

  $$\mu(E_n) < 2^{-n}, \quad \nu(E_n) \ge \varepsilon$$

  令

  $$F_k = \bigcup_{n \ge k} E_n, \quad F = \bigcap_k F_k$$

  则 $\mu(F_k) \le \sum_{n\ge k} 2^{-n} = 2^{1-k} \to 0$，由 $\mu$ 的下连续性与递减性得 $\mu(F) = 0$。

  另一方面 $\nu(F_k) \ge \nu(E_k) \ge \varepsilon$ 对一切 $k$ 成立；由 $\nu$ 有限与测度的下连续性（$F_k \searrow F$，首项有限）得

  $$\nu(F) = \lim_k \nu(F_k) \ge \varepsilon > 0$$

  这与 $\nu \ll \mu$（$\mu (F) = 0$ 应推出 $\nu (F) = 0$）矛盾。故这样的 $\varepsilon$ 不存在，即对每个 $\varepsilon > 0$ 都有对应的 $\delta$。∎

  $>$ ⭐ 反证里那个「对一切 $n$ 都能找到」是取出的关键：它把「不连续」翻译成了一列越来越小的坏集合，再用 Borel–Cantelli 型的尾并把它们压成零集。

定义引用 7

• 要么奇异、要么有下界 用到 本页定义引用

  引理出场的目的是为 RN 定理准备「$\varepsilon$ 下界」。

• Lebesgue–Radon–Nikodym 定理 用到 本页定义引用

  $L$–$R$–$N$ 里那个 $\rho \ll \mu$ 就是绝对连续。

• 函数绝对连续 ⟺ 测度绝对连续 用到 本页定义引用

  同时用到测度版的绝对连续。

• 积分的绝对连续性 用到 本页定义引用

  这条就是「积分关于测度绝对连续」的 $\varepsilon$–$\delta$ 形式。

• 互为绝对连续时导数互逆 用到 本页定义引用

  前提是 $\mu \ll \lambda$ 且 $\lambda \ll \mu$——互为绝对连续。

• NBV 函数的导数与测度的关系 用到 本页定义引用

  结论第二条 $\mu_F \ll m$ 用的是绝对连续。

• RN 导数与 Lebesgue 分解 用到 本页定义引用

  RN 导数 $d\nu/d\mu$ 就是在 $\nu \ll \mu$ 的前提下取到的那个 $f$。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 测度 → 本页定义引用

  绝对连续里被参照的 $\mu$ 是一个真测度。

• 零集与完备 → 本页定义引用

  $\nu \ll \mu$ 的定义是「每个 $\mu$ 零集都是 $\nu$ 零集」。

• 符号测度 → 本页定义引用

  这里的 $\nu$ 是一个符号测度。