NBV 函数的导数与测度的关系

$(\Longleftarrow )$ 设 $\mu_F \ll m$。应用测度版绝对连续的 $\varepsilon$–$\delta$ 刻画（注意 $\mu _F$ 有限，符合前提）：给定 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta > 0$ 使

现在取有限个两两不交的区间 $(a_j, b_j) \subseteq [a, b]$ 且 $\sum(b_j - a_j) < \delta$，令 $E = \bigsqcup_j (a_j, b_j)$。则 $m(E) < \delta$，于是

这正是函数绝对连续的定义。

$(\implies )$ 设 $F$ 绝对连续，$E \in \mathfrak{B}_\mathbb{R}$、$m(E) = 0$，要证 $\mu_F(E) = 0$。由 $\mu _F$ 的正则性取递减开集列 $U_1 \supseteq U_2 \supseteq \cdots \supseteq E$ 使 $m(U_k) < \delta$、$\bigcap_k U_k = E$。每个 $U_{k}$ 是区间的可数不交并，把函数绝对连续性的条件用在 $U_{k}$ 的有限截断上，得到 $|\mu_F(U_j)| < \varepsilon$；再由测度的上连续性（递减列，首项有限）得

由 $\varepsilon$ 任意，$\mu_F(E) = 0$。故 $\mu_F \ll m$。∎

$(a) \implies (b)$。 设 $F$ 绝对连续。由$AC \subseteq BV$，$F \in BV$；把它补成 NBV 里的函数（差一个常数与右连续化，不影响导数的积分）。由绝对连续 $\iff \mu _F \ll m$，写 Lebesgue 分解时奇异部分 $\lambda = 0$，于是 $d\mu_F = f\cdot dm$，即

取 $f$ 就是所要的 $L^{1}$ 函数。

$(b) \implies (c)$。 若 $F(x) - F(a) = \int_a^x f$，则由积分的绝对连续性，$F$ 绝对连续（这是直接验证）；而由微分定理，$d / dx\int_a^x f = f(x)$ a.e.，故 $F' = f$ a.e.、$F' \in L^1$，公式成立。

$(c) \implies (a)$。 由 (c)，$F$ 在 a.e. 意义下等于一个积分的原函数；把 $F(x) - \int_a^x F'$ 这个差记作 $G$，则 $G$ 绝对连续（$(b) \implies F$ 的那一段）且 $G' = 0 \text{a.e.}$；再由 (b) 的构造（$\mu _G \ll m$ 且密度为 $F' - F' = 0$）得 $G \equiv 0$。故 $F$ 本身绝对连续。∎

$>$ ⭐ 最容易错的直觉是「a.e. 可导 $F' \in L^{1}$ 就够」——Cantor 函数正是反例：它 a.e. 可导、$F' \equiv 0 \in L^{1}$，但 $\int _{0}^{1} F' = 0 \ne 1$。绝对连续这一条不能省。