BV 函数的正则性

谁指向它（入边）

推出 1

• BV 的 Jordan 分解、单调函数几乎处处可导 ⟹ 本页推出
  化归到递增函数 $\implies BV$ 的正则性

  由Jordan 分解，只需对有界递增函数证明这三条 —— 差的性质自动继承。

  (c) 递增函数 $F$ 在每点都有单侧极限：

  $$F(x-) = \sup_{y < x} F(y), \quad F(x+) = \inf_{y > x} F(y)$$

  （递增数列的有界单调收敛定理。）同理 $F(\pm \infty) = \sup/\inf$ 也存在。

  (d) 由单调函数那条定理的 (a)：不连续点至多可数。

  (e) 由同一条定理的 (b)：$F' = G'$ a.e.，其中 $G(x) = F(x+)$。对 $G - H$ 形式的函数两边相减即可。∎

  $>$ ⭐ 整个证明的模式很典型：先证明「递增」这个好情形，再用 Jordan 分解把一般情形搬过去。

定义引用 1

• 有界变差 BV → 本页定义引用

  正则性命题是在 BV 上说的。