积出来的函数是 AC · NBV

说明

证明。 (1) 设 $f \in L^{1}(m)$、$F(x) := \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$。

• $F \in NBV$：$F$ 右连续（$x \downarrow x_{0}$ 时 $f\chi_{(-\infty,x]} \to f\chi_{(-\infty,x_{0}]}$ 逐点且被 $|f|$ 控制，用控制收敛定理）✓；$F(-\infty) = 0$ ✓；对任意划分 $\sum|F(x_{j})-F(x_{j-1})| \le \int_{a}^{b}|f| < \infty$，故 $T_{F} < \infty$ ✓。
• $F \in AC$：给 $\varepsilon > 0$。由 $|f| \in L^{1}$ 的绝对连续性取 $\delta > 0$ 使 $m(E) < \delta \implies \int_{E}|f| < \varepsilon$；于是对两两不交的区间族 $\bigsqcup(a_{j}, b_{j})$ 且 $\sum(b_{j}-a_{j}) < \delta$，

(2) 反之设 $F \in NBV \cap AC$。$F$ 有界变差 $\implies$ $F$ 可测、a.e. 可导、$F' \in L^{1}(m)$，且有 Lebesgue 分解 $dF = F'\,\mathrm{d}m + dF_{s}$（$F_{s} \perp m$，由 $F$ 的测度部分给出）；而绝对连续恰好等价于「测度部分没有奇异部分」，即 $F_{s} = 0$ ✓。于是 $F(x) = \int_{-\infty}^{x}F'\,\mathrm{d}m$ ✓。∎ ⭐ 两方向合起来：绝对连续函数恰好是某个 $L^{1}$ 函数的积分。

两个方向合起来就是「绝对连续函数正好是某个 $L^{1}$ 函数的积分」。