全变差的 NBV 性质

(1) 测度 $\implies$ 函数。 复测度拆成四个正测度 $\mu = \mu_1^+ - \mu_1^- + i(\mu_2^+ - \mu_2^-)$。令

每个 $F_j^{\pm }$ 递增、右连续、$F_j^{\pm }(-\infty) = 0$、$F_j^{\pm }(+\infty) = \mu_j^{\pm }(\mathbb{R}) < \infty$。于是 $F$ 是四个这样的函数之组合，属于 NBV。

(2) 函数 $\implies$ 测度。 反之任意 $F \in NBV$ 可以写成

（用 NBV 版本的 Jordan 分解，注意右连续与 $F(-\infty ) = 0$ 都被差保留。）每个递增右连续、$F(-\infty ) = 0$ 的函数唯一对应一个有限 Borel 测度（取 $\mu ((a,b]) = F(b) - F(a)$，由 Lebesgue–Stieltjes 那一套扩张）；四块加起来即得 $\mu _F$。唯一性来自「$\mu$ 由它在 $(-\infty , x]$ 上的值唯一决定」，而后者生成整个 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$。

$(3) |\mu _F| = \mu _\{T_F\}$。 由引理，$F \in NBV \implies T_F \in NBV$，所以 $\mu_{T_F}$ 有意义。两边都是 NBV 函数，逐点比较：对任意 $x$，

（中间那个等号是 $|\mu |$ 的全变差定义 + 测度的可数可加性。）由 $(-\infty , x]$ 生成 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$，两个测度相等。∎