零集与完备

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 完备化定理推出
  零集 $\implies$ 完备化

  设 $(X, \mathcal{M}, \mu )$ 是测度空间，$\bar{\mathcal{M}} = \{ E \cup F : E \in \mathcal{M}, F \subseteq N$ 对某个零集 N }。

  ① $\bar{\mathcal{M}}$ 是 $\sigma$代数。 含 $X$（$X \in \mathcal{M}$）。对可数并：$\bigcup (E_{j} \cup F_{j}) = (\bigcup E_{j}) \cup (\bigcup F_{j})$，而 $\bigcup F_{j} \subseteq \bigcup N_{j}$ 是零集。对补：$E \cup F$ 的补是

  $$(E \cup F)^c = (E^c \cap N^c) \cup (E^c \cap N \setminus F)$$

  第一块属于 $\mathcal{M}$，第二块含在零集 $N$ 里，故属于 $\bar{\mathcal{M}}$ 的形状。

  ② $\bar{\mu}$ 良定义。 设 $E_{1} \cup F_{1} = E_{2} \cup F_{2}$ 且 $F_{i} \subseteq N_{i}$（零集）。由 $E_{1} \subseteq E_{2} \cup N_{2}$ 得 $\mu (E_{1}) \le \mu (E_{2}) + 0$，反向同理，故 $\mu (E_{1}) = \mu (E_{2})$。

  ③ $\bar{\mu}$ 是测度。 把 $\mathcal{N}$ 中集合的子集归入「零的一部分」后，可数可加性与 $\mu$ 上的逐一对应（$E_{j}$ 部分可数可加、$F_{j}$ 部分含于零集）。

  ④ 完备。 若 $\bar{\mu}(E \cup F) = 0$，则 $\mu (E) = 0$，于是 $E \cup F \subseteq E \cup N$ 是零集的子集 —— 按 $\bar{\mathcal{M}}$ 的定义它当然还在 $\bar{\mathcal{M}}$ 里，即：$\bar{\mathcal{M}}$ 中每个零集的子集都可测。∎

定义引用 11

• 完备化定理 用到 本页定义引用

  完备化定理的定义里整段都在用「零集」。

• 完备性 ⟺ 不破坏可测性 用到 本页定义引用

  这条命题说的正是「完备性」这个概念在函数层面等价于什么。

• 完备化后可改在零集上 用到 本页定义引用

  证明里全程在用零集。

• 积分为零 ⟺ 几乎处处为零 用到 本页定义引用

  「积分为零 $\iff$ 几乎处处为零」里的 a.e. 就是相对于零集说的。

• MCT（a.e. 版本） 用到 本页定义引用

  「a.e. 版本」的意思就是把零集上的例外丢掉。

• 完备情形的 F–T 用到 本页定义引用

  证明的核心是把集合拆成「属于 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ 的部分」+「含在零集里的部分」。

• 几乎处处 用到 本页定义引用

  a.e. 的定义就是「例外集是零集」。

• 积分有限的后果 用到 本页定义引用

  结论第一条说的是「$\{x : f(x) = \infty\}$ 是零集」。

• 相互奇异 用到 本页定义引用

  相互奇异要求「$E$ 是 $\mu$ 零集、$F$ 是 $\nu$ 零集」。

• 绝对连续 用到 本页定义引用

  $\nu \ll \mu$ 的定义是「每个 $\mu$ 零集都是 $\nu$ 零集」。

• 本性上界与 L^∞ 用到 本页定义引用

  「把 $f$ 在零集上的取值统统不算」——这正是本性上界的意思。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 测度 → 本页定义引用

  $\mu$ 零集是「$\mu(E) = 0$ 的可测集」，$E$ 与 $\mu$ 都来自测度空间。