外测度

外测度（Outer Measure）

定义
依赖深度 layer 14
分析学
测度的构造

def.outer-measure · 定义 · 外测度 · 次可加

又称外测度·outer measure

图外条目Wikipedia ↗·nLab ↗

陈述

设 $X$ 是非空集合。函数 $\mu^* : \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]$ 是一个外测度，当且仅当

$\mu^*(\emptyset) = 0$
单调： $A \subseteq B \implies \mu^$
可数次可加： $\mu^$

说明

外测度定义在全体子集上（ $\mathcal{P}(X)$ ，不是某个 $\sigma$ 代数），代价是它只有次可加性。

所以外测度不是测度 —— 它太大了，连 $\mathcal{P}(X)$ 上都没有可加性。Carathéodory 的想法是在其中挑出一批「表现良好」的集合（下一条定义），外测度在它们上面才变成真正的测度。

Lebesgue 最初构造的就是外测度： $\mu^{*}(A) = \inf\{ \sum (b_{n} - a_{n}) : A \subseteq \bigcup (a_{n}, b_{n}) \}$ 。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

An outer measure on a non-empty set $X$ is a function $\mu^$ with $\mu^$ (\emptyset) = 0 $μ^{*} (\emptyset) = 0$ that is monotone and countably subadditive. It is defined on every subset, and the price is exactly that subadditivity: it is not a measure. Carathéodory's idea is to single out the sets on which $\mu^$ is additive, and there it becomes a genuine measure. Lebesgue's original construction, $\mu^$ (A) = \inf \sum (b_n - a_n) $μ^{*} (A) = in f \sum (b_{n} - a_{n})$ over countable interval covers, is the prototypical example.

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Carathéodory 定理推出

外测度 + 可切集 $\implies$ σ-代数与完备测度

设 $\mu^{$ 是外测度， $\mathcal{M} = \{ A : \forall E, \mu^{$ }(E) = \mu^{}(E\cap A) + \mu^{}(E\cap A^{c}) \} $M = {A : \forall E, μ^{*} (E) = μ^{*} (E \cap A) + μ^{*} (E \cap A^{c})}$ 。
① $\mathcal{M}$ 是代数。 条件关于 $A$ 与 $A^{c}$ 对称，故 $A \in \mathcal{M} \implies A^{c} \in \mathcal{M}$ ； $\emptyset$ 与 $X$ 显然在 $\mathcal{M}$ 中。若 $A, B \in \mathcal{M}$ ，要证 $A \cup B \in \mathcal{M}$ ：对任意 $E$ ，把 $E$ 依 $A$ 切开、再依 $B$ 切开，
$\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\cap B^c) + \mu^*(E\cap A^c\cap B) + \mu^*(E\cap A^c\cap B^c)$
而右边前三项合起来 $\ge \mu^{$ （次可加），最后一项 $= \mu^{$ }(E\cap (A\cup B)^{c}) $= μ^{*} (E \cap (A \cup B)^{c})$ 。反向不等式由次可加自动成立，故 $A \cup B \in \mathcal{M}$ 。
② $\mathcal{M}$ 是 $\sigma$ 代数。 设 $A_{j} \in \mathcal{M}$ 两两不交， $A = \bigcup A_{j}$ 。对任意 $E$ 归纳得到
$\mu^*(E \cap \bigcup_{j\le n} A_j) = \sum_{j\le n} \mu^*(E \cap A_j)$
（每一步用 $A_{n}$ 把 $E$ 切开，丢掉的那块弃掉即可。）令 $n \to \infty$ ，用次可加性与单调性，
$\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$
故 $A \in \mathcal{M}$ 。结合 ①， $\mathcal{M}$ 是可数并封闭的代数，即 $\sigma$ 代数（可数不交并由 ②，一般可数并再换成不交并）。
③ $\mu^{$ 可加。 在 ② 里取 $E = X$ 、 $A$ 换成两两不交的 $A_{j}$ ，得 $\mu^{$ }(\bigcup A_{j}) = \sum \mu^{}(A_{j}) $μ^{*} (⋃ A_{j}) = \sum μ^{*} (A_{j})$ ，这正是可数可加； $\mu^{$ }(\emptyset ) = 0 $μ^{*} (\emptyset) = 0$ 由外测度定义给出。
④ 完备。 设 $\mu^{*}(A) = 0$ ， $B \subseteq A$ 。对任意 $E$ ，由单调性与次可加，
$\mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap B^c) \ge \mu^*(E) - \mu^*(E \cap B) \ge \mu^*(E) - \mu^*(A) = \mu^*(E)$
故 $\mu^{$ （注意 $\mu^{$ }(E\cap B) \le \mu^{}(A) = 0 $μ^{*} (E \cap B) \leq μ^{*} (A) = 0$ ），即 $B \in \mathcal{M}$ 。故 $\mu^{$ }|_\mathcal{M} $μ^{*} ∣_{M}$ 完备。∎
$>$ 这一条是纯验证，但要验的东西不少，上面把要点写全了。

定义引用 3

Carathéodory 定理用到本页定义引用

Carathéodory 定理的起点是外测度。
μ*-可测集用到本页定义引用

「设 $\mu^$ 是 $X$ 上的外测度」——可测性完全由 $\mu^$ $μ^{*}$ 一个对象定出来。
乘积测度用到本页定义引用

扩张这一步： $\mu_{0}$ 诱导出 $X \times Y$ 上的外测度，再限制到积 $\sigma$ 代数上。

谁指向它（入边）

定义引用 4

幂集 𝒫(X) → 本页定义引用

外测度定义在全体子集上： $\mu^* : \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]$ 。
子集 → 本页定义引用

外测度定义在全体子集上： $\mu^* : \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]$ 。
幂集 𝒫(X) → 本页定义引用

定义域是幂集 $\mathcal{P}(X)$ —— 不是某个 $\sigma$ -代数。
扩充实数 [−∞,+∞] → 本页定义引用

取值落在扩充实数 $[0, +\infty]$ 里：外测度可以取 $+\infty$ （ $\mathbb{R}$ 的 Lebesgue 测度就是）。

参考

Halmos, Measure Theory, §11
Folland, Real Analysis, §1.4

常见问法 1 条

怎么从一个外测度造出测度也看 Carathéodory 定理、μ*-可测集

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