F ↔ Borel 测度

谁指向它（入边）

推出 1

• F 给出的预测度、扩张的唯一性 ⟹ 本页推出
  F 的预测度 $\implies \mathbb{R}$ 上的 Borel 测度

  设 $F$ 递增右连续。由前一条命题，$\mu _{0}((a, b]) = F(b) - F(a)$ 扩充成半开区间生成的代数 $\mathfrak{A}$ 上的预测度。

  ① 存在性。 由 Carathéodory 扩张定理，$\mu _{0}$ 诱导的外测度限制在 $\mathcal{M}(\mathfrak{A})$ 上就是一个测度 $\mu _F$，且在 $\mathfrak{A}$ 上还原成 $\mu _{0}$。特别地 $\mu _F((a, b]) = F(b) - F(a)$。

  ② 它是 Borel 测度。 每个开区间 (a, b) 是可数个 $(a, b - 1/n]$ 之并，故属于 $\mathcal{M}(\mathfrak{A})$；于是 $\mathcal{M}(\mathfrak{A})$ 包含 $\mathbb{R}$ 的全体开集（$\mathbb{R}$ 的开集是可数个开区间之并），从而 $\mathfrak{B}_\mathbb{R} \subseteq \mathcal{M}(\mathfrak{A})$。

  ③ 唯一性。 $F$ 递增实值 $\implies \mu _F((-n, n]) = F(n) - F(-n) < \infty$，所以 $\mu _F$ 是 $\sigma$有限的（$\mathbb{R} = \bigcup _{n} (-n, n]$）。由 $\sigma$有限时的唯一性，扩张唯一。

  ④ 「差常数」的来源。 $\mu _F$ 只看增量：把 $F$ 换成 F + c，对一切 (a, b] 有 $F(b) - F(a)$ 不变，故预测度不变、扩张不变。反过来若 $\mu _F = \mu _G$，则对一切 $a < b$，$F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$，固定 $a$ 即得 $F - G$ 是常数。∎

定义引用 1

• Borel σ-代数 → 本页定义引用

  定理的结论是「Borel 测度」。