完备性 ⟺ 不破坏可测性

说明

证明。 $(\implies)$ 设 $\mu$ 完备。记 $N := \{f \ne g\}$、$\mu(N) = 0$。对任意可测集 $B$，

第一块可测（$f$ 可测）；第二块是零集的子集，由完备性可测 ✓。故 $g$ 可测。(b) 同理：$f_{n} \to f$ a.e. 时把 $f$ 在不收敛的零集上改写成 $\limsup_{n} f_{n}$，可测性不变，而它与 $f$ 只差一个零集 ✓。 $(\Longleftarrow)$ 设 (a) 成立。取零集 $E$（$\mu(E) = 0$）与任意 $F \subseteq E$，令 $f \equiv 0$、$g := \chi_{F}$。则 $f$ 可测，且 $\{f \ne g\} \subseteq E$ 是零集，即 $f = g$ a.e.；由 (a)，$g$ 可测；于是 $F = g^{-1}(\{1\})$ 可测 ✓。故每个零集的子集都可测，$\mu$ 完备 ✓。（用 (b) 也一样：取常列 $f_{n} \equiv 0$、$f := \chi_{F}$，$f_{n} \to f$ a.e.，由 (b) 得 $\chi_{F}$ 可测。）∎ ⭐ 这条说明完备性恰好就是「重新定义零集上的值不破坏可测性」所需的全部条件。

$(\implies )$ 是完备性的直接好处：重新定义零集上的值不改变可测性。

$(\Longleftarrow )$ 是这条命题有意思的地方 —— 它说明完备性恰好是「不破坏可测性」所需的全部。构造：取零集 $E$（$\mu (E) = 0$）里一个不可测的子集 $F$（若 $\mu$ 不完备，这样的 $F$ 存在），令

则 $f$ 可测、$f = g$ 在 $E$ 外处处成立（即 a.e.），但

不可测，所以 $g^{-1}((0, +\infty]) = F$ 不可测，$g$ 不可测。(a) 失败 $\implies \mu$ 不完备。