L¹ 收敛 ⟹ 依测度收敛

谁指向它（入边）

推出 1

• 可积 / L¹ ⟹ 本页推出
  Markov 不等式 $\implies L^{1}$ 收敛蕴含依测度收敛

  Markov 不等式：设 $g$ 可测非负，则对任意 $\varepsilon > 0$，

  $$\mu(\{g \ge \varepsilon\}) \le (1/\varepsilon)\cdot\int g d\mu$$

  证明：在 $\{g \ge \varepsilon\}$ 上有 $\varepsilon \le g$，即 $\varepsilon \chi_{\{g \ge \varepsilon\}} \le g$；两边积分得 $\varepsilon\cdot\mu(\{g \ge \varepsilon\}) \le \int g$。

  取 $g = |f_n - f|$。给定 $\delta > 0$，

  $$\mu(\{|f_n - f| > \delta\}) \le (1/\delta)\cdot\int |f_n - f| d\mu \to 0$$

  （最后一步正是 $L^{1}$ 收敛的定义。）再对任意 $\varepsilon > 0$ 取 $n$ 足够大即可。∎

定义引用 2

• 可积 / L¹ → 本页定义引用

  $L^{1}$ 收敛的定义里用到 $\int |f_{n} - f|$。

• 五种收敛 → 本页定义引用

  两种收敛的定义直接对照。