积空间与实虚部

命题：可测函数到积空间；f 可测 $\iff$ 实部虚部可测

命题
依赖深度 layer 7
分析学
可测函数与收敛

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又称实虚部可测·积空间可测

陈述

(1) 设 $(X, \mathcal{M})$ 、 $(Y_\alpha , \mathcal{N}_\alpha ) (\alpha \in A)$ 是可测空间， $Y = \prod_{\alpha} Y_\alpha$ ， $\mathcal{N} = \otimes _{\alpha} \mathcal{N}_\alpha$ ， $\pi _\alpha : Y \to Y_\alpha$ 是投影。则

f : X \to Y\text{ 可测} \iff f_\alpha = \pi _\alpha \circ f\text{ 可测}(\forall\alpha \in A)

(2) 特别地， $f : X \to \mathbb{C}$ 可测 $\iff$ $\operatorname{Re} f$ 与 $\operatorname{Im} f$ 都可测。

说明

(1) 的 $(\implies )$ ：投影 $\pi _\alpha$ 本身可测（ $\pi _\alpha ^{-1}(E_\alpha )$ 是柱集），用复合保持。

(1) 的 $(\Longleftarrow )$ ：只要证柱集的原像可测 —— 而 $f^{-1}(\pi _\alpha^{-1}(E_\alpha)) = f_\alpha^{-1}(E_\alpha)$ 可测 —— 再由积 $\sigma$ 代数由柱集生成、用判定准则 (2)。

(2) 的证明用了一个干净的事实： $\mathbb{C}$ 的 $Borel \sigma$ 代数与 $\mathbb{R}^{2}$ 的 $Borel \sigma$ 代数是同一个：

\mathfrak{B}_\mathbb{C} = \mathfrak{B}_{\mathbb{R}^2} = \mathfrak{B}_\mathbb{R} \otimes \mathfrak{B}_\mathbb{R}

于是 (2) 就是 (1) 在 $A = \{1, 2\}$ 时的特例。

谁指向它（入边）

定义引用 1

积 σ-代数 → 本页定义引用

这条命题的舞台是积 $\sigma$ 代数。

参考

Folland, Real Analysis, Prop. 2.3

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