完备情形的 F–T

谁指向它（入边）

推出 1

• Fubini–Tonelli、完备化定理、乘积测度通常不完备 ⟹ 本页推出
  乘积测度通常不完备 $\implies$ 必须补一条完备情形的 F–T

  ① 先证 $f \ge 0$ 的情形。 由于 $\lambda$ 是 $\mu \times \nu$ 的完备化，$\mathcal{L}$ 中的集合可以写成

  $$E = F \cup G, \quad F \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}, \quad G \subseteq H, \quad \mu \times \nu(H) = 0$$

  （取不交化后即 $E = F \sqcup G$，于是 $\chi_E = \chi_F + \chi_G$。）

  ② $\chi_F$ 那一半没问题 —— 直接归 Fubini–Tonelli（$F \in \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$）。

  ③ $\chi_G$ 那一半也没问题 —— 因为 $G \subseteq H$ 而 $\mu \times \nu (H) = 0$，所以对每一个 $x$ 都有 $\nu(G_x) \le \nu(H_x) = 0$（$H$ 的截口是 $\nu$零集，这一步用截口公式对 $H$ 本身成立），于是

  $$\int \chi_G d\lambda = 0 = \int ( \int \chi_G d\nu ) d\mu$$

  两边都是 0。（对 a.e. 的 $x$，$G_x$ 是 $\nu$零集。）

  ④ 由线性推广到非负简单函数，再用 MCT 推广到一切 $f \ge 0$。 关键点：完备化只多出「含在零集里的部分」，而这部分对积分的贡献恒为 0，所以整段论证不会被破坏。

  ⑤ 一般情形：把 $f$ 拆成 $\operatorname{Re} f^\pm , \operatorname{Im} f^\pm$ 四个非负部分，逐块用 ④ —— 但此时所有断言都退化成「对 a.e. 的 x / y」，因为零集上的截口行为不再逐一可控。∎

  $>$ 要点：核心就是把 $E$ 拆成 $F \sqcup G$ —— $F$ 归老定理、$G$ 归「截口都是零集」。

定义引用 2

• 乘积测度 → 本页定义引用

  完备情形下先要把 $\mu \times \nu$ 完备化。

• 零集与完备 → 本页定义引用

  证明的核心是把集合拆成「属于 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ 的部分」+「含在零集里的部分」。