可数积的生成集

说明

证明。 记 $\mathcal{R} := \{\, \prod_{\alpha \in A} E_{\alpha} : E_{\alpha} \in \mathcal{M}_{\alpha} \,\}$（矩形全体），$\mathcal{M} := \bigotimes_{\alpha \in A} \mathcal{M}_{\alpha}$（柱集生成的 $\sigma$代数）。

• $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}(\mathcal{R})$：柱集 $\pi_{\alpha}^{-1}(E_{\alpha})$ 就是矩形（其余坐标取全空间 $X_{\beta}$）✓；
• $\mathcal{R} \subseteq \mathcal{M}$：$A$ 可数时，每个矩形是可数多个柱集之交

而 $\mathcal{M}$ 对可数交封闭 ✓；

• 两边互包，故 $\mathcal{M}(\mathcal{R}) = \mathcal{M}$ ✓。∎

⚠️ 「$A$ 可数」不能省：不可数时「矩形＝柱集之交」需要不可数交，而 $\sigma$代数只保证可数交 —— 结论对不可数积一般不成立。

这条确实 obvious：$A$ 可数时每个矩形都是可数多个柱集之交，

而柱集本来就已经在 $\sigma$代数里了，矩形自然也就在里面；反过来柱集是矩形（其余坐标取全空间）的特例。

⚠ 该结论对不可数的 $A$ 不成立 —— 这就是为什么定义必须用柱集而不是矩形。