复测度的 Radon–Nikodym

定理：复测度的 $\nu = \lambda + f d\mu$ 分解

thm.rn-complex · 定理 · Radon-Nikodym · 复测度

又称复测度的 RN 定理

陈述

设 $\nu$ 是复测度、 $\mu$ 是 $\sigma$ 有限测度。则存在复测度 $\lambda$ 与 $f \in L^1(\mu)$ 使

d\nu = d\lambda + f d\mu, \quad \lambda \perp \mu,

且在 a.e. 意义下唯一。

证明（把复情形拆回已经证过的实情形）。

拆复测度： $\nu = \nu_{1} + i\nu_{2}$ ， $\nu_{1}, \nu_{2}$ 是有限符号测度（ $\nu$ 有限 $\implies$ 其实部虚部有限）✓；
符号测度：对有限符号测度 $\rho$ 与 $\sigma$ 有限测度 $\mu$ ，先用 Hahn 分解写 $\rho = \rho^{+} - \rho^{-}$ ，对两个有限正测度各用一次 Radon–Nikodym： $d\rho^{\pm} = h^{\pm}\,\mathrm{d}\mu + d\rho^{\pm}_{s}$ （ $\rho^{\pm}_{s} \perp \mu$ ， $h^{\pm} \in L^{1}(\mu)$ ）✓；
拼起来：令 $f := (h_{1}^{+} - h_{1}^{-}) + i(h_{2}^{+} - h_{2}^{-}) \in L^{1}(\mu)$ 、 $\lambda := (\rho_{1,a} - \rho_{1,s}) + i(\cdots)$ 的奇异部分之和，则 $d\nu = d\lambda + f\,\mathrm{d}\mu$ 、 $\lambda \perp \mu$ ✓；
唯一性：若 $d\lambda + f\,\mathrm{d}\mu = d\lambda' + f'\,\mathrm{d}\mu$ ，与 $\mu$ 取 Lebesgue 分解比奇异部分得 $\lambda = \lambda'$ ；比绝对连续部分并用密度 a.e. 唯一得 $f = f'$ a.e. ✓。∎

⚠️ 这里 $f \in L^{1}(\mu)$ （真正可积）而不是「广义可积」，因为复测度有限。

复测度可以拆成实部与虚部、各自再用符号测度的版本 —— 这是把上一套结论搬到复情形的标准做法。

⚠ 这里 $f \in L^1(\mu)$ 而不再是「广义可积」：因为复测度有限， $f$ 必须真可积。