积分给出绝对连续测度

命题： $\nu(E) = \int_E f d\mu$ 关于 $\mu$ 绝对连续

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又称积分给出绝对连续

陈述

设 $\mu$ 是测度， $f$ 是广义 $\mu$ 可积函数，定义

\nu(E) := \int_E f d\mu

则 $\nu$ 是符号测度，且 $\nu \ll \mu$ 。并且

\nu\text{ 有限} \iff f \in L^1(\mu)

这是绝对连续测度的标准来源，也是 Radon–Nikodym 定理要反过来证明的那件事：所有绝对连续的 $\nu$ 都长这个样子。

记法上常写成微分形式：

\nu(E) = \int_E f d\mu\quad \iff\quad d\nu = f d\mu

本页 ⟹ RN 导数的链式法则推出

换元公式与链式法则

设 $\nu \ll \mu \ll \lambda$ 。
(a) 换元公式 $\int g d\nu = \int g \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ 。 分四步爬：
$\cdot$ $g = \chi_E$ ：左边是 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ （这正是 RN 定理的内容），右边同； $\cdot g$ 是简单函数：由线性； $\cdot$ $g \in L^+$ ：取简单函数列 $g_n \uparrow g$ ，两边各用一次 MCT； $\cdot$ $g \in L^1(\nu)$ ：拆正负部。
(b) 链式法则。 对任意可测 $E$ ，用 (a) 两次：
$\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda} d\lambda$
另一方面又有 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\lambda} d\lambda$ （因为 $\nu \ll \lambda$ ）。两式对一切 $E$ 相等，由「用积分识别函数」，两个密度 $\lambda -\text{a.e.}$ 相等：
$\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda}\quad \lambda-\text{a.e.}$
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本页 ⟹ 积分的绝对连续性推出

积分给出绝对连续测度 $\implies$ 积分的绝对连续性

把「积分给出绝对连续测度」与绝对连续的 $\varepsilon$ – $\delta$ 刻画拼起来即可： $\mu(E) < \delta \implies \nu(E) = \int_E f \, d\mu < \varepsilon$ 。∎