Jordan 分解定理

它指向谁（出边）

定义引用 1

• 绝对连续与变差 用到 本页定义引用

  命题是用 $\nu ^{+}$、$\nu ^{-}$ 把绝对连续性拆成两半说的。

谁指向它（入边）

推出 1

• Hahn 分解定理 ⟹ 本页推出
  Hahn 分解 $\implies$ Jordan 分解

  取 $\nu$ 的一个 Hahn 分解 $X = P \sqcup N$（$P$ 正、$N$ 负）。定义

  $$\nu^+(E) := \nu(E \cap P), \quad \nu^-(E) := -\nu(E \cap N)$$

  ① 它们都是测度。 对 $\nu ^{+}$：$\nu^+(\emptyset) = \nu(\emptyset) = 0$；对不交的 $\{E_j\}$，

  $$\nu^+( \bigsqcup_j E_j ) = \nu( \bigsqcup_j (E_j \cap P) ) = \sum_j \nu(E_j \cap P) = \sum_j \nu^+(E_j)$$

  （右边的每一项都 $\ge 0$，因为 $E_j \cap P$ 是正集的子集。）$\nu ^{-}$ 同理。

  ② $\nu = \nu ^{+} - \nu ^{-}$。 对任意 $E$，

  $$\nu(E) = \nu(E \cap P) + \nu(E \cap N) = \nu^+(E) - \nu^-(E)$$

  ③ $\nu ^{+} \perp \nu ^{-}$。 取 $E = P$、$F = N$：$P$ 是 $\nu ^{-}$零集（$\nu ^{-}(P) = -\nu (P \cap N) = 0$），$N$ 是 $\nu ^{+}$零集。

  ④ 至少一个有限。 由符号测度的定义，$\nu$ 至多取到 $\pm \infty$ 中的一个：若 $\nu$ 不取 $\infty$ 则 $\nu ^{+}$ 有限，若 $\nu$ 不取 $-\infty$ 则 $\nu ^{-}$ 有限。

  ⑤ 唯一性。 设 $\nu = \mu_1 - \mu_2$ 也是这种分解（$\mu_1 \perp \mu_2$）。取见证奇异性的划分 $X = E \sqcup F$（$E$ 是 $\mu _{1}$零集、$F$ 是 $\mu _{2}$零集）。由 Hahn 分解的唯一性只能差一个零集，逐块比较即可得到 $\mu_1 = \nu^+$、$\mu_2 = \nu^-$。∎

定义引用 3

• 符号测度 → 本页定义引用

  Jordan 分解把符号测度拆成两个测度之差。

• Hahn 分解定理 → 本页定义引用

  $\nu ^{+}$、$\nu ^{-}$ 的造法直接来自 Hahn 分解的那个划分。

• 相互奇异 → 本页定义引用

  Jordan 分解里那个 $\nu ^{+} \perp \nu ^{-}$ 用的就是相互奇异。